死亡证明家属留存的那联，即《死亡医学证明书》或《居民死亡医学证明(推断)书》的第五联（不同地区可能联数设置略有差异，但核心作用一致），对于家属来说具有重要的作用。以下是对其作用的详细解释：

一、作为死亡事实的官方证明

家属留存的死亡证明联是官方出具的，证明逝者已经死亡的法律文件。这份文件在后续处理与逝者相关的各种事务时，将作为重要的法律依据。

二、用于办理遗产继承、保险理赔等事务

在逝者去世后，家属可能需要处理遗产继承、保险理赔等事务。这些事务通常需要提供逝者的死亡证明作为必要文件。家属留存的死亡证明联，就是办理这些事务时的重要凭证。

三、作为家庭档案的一部分

死亡证明也是家庭档案的重要组成部分。它记录了家庭成员的重要生命事件，对于家族历史的研究、家族文化的传承等都具有重要意义。因此，家属应妥善保管这份文件，作为家庭记忆的一部分。

四、便于后续事务的办理

在逝者去世后，家属可能还需要处理一些与逝者相关的后续事务，如注销逝者的银行账户、处理逝者的社交媒体账号等。这些事务的办理，有时也需要提供逝者的死亡证明。家属留存的死亡证明联，可以方便家属在需要时快速提供这份文件。

注意事项

1. 妥善保管：家属应妥善保管死亡证明，避免遗失或损坏。如果遗失或损坏，可能需要重新申请补办，这将增加不必要的麻烦和成本。
2. 了解用途：家属应了解死亡证明的具体用途，以便在需要时能够及时提供。同时，也应了解不同机构对死亡证明的具体要求，以确保文件的合规性和有效性。
3. 遵守规定：在处理与逝者相关的事务时，家属应遵守相关法律法规和规定，确保事务的合法性和合规性。

概括起来，死亡证明家属留存的那联是官方出具的证明逝者已经死亡的法律文件，对于家属来说具有重要的作用。家属应妥善保管这份文件，并了解其具体用途和办理流程，以便在需要时能够及时提供并顺利处理相关事务。