在刑事拘留期间，取保候审的决定由作出拘留决定的公安机关的相关负责人签字批准。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，取保候审的决定权主要归属于公安机关。具体来说，该法第六十七条规定了可以取保候审的情形，而第九十一条则涉及了拘留后提请逮捕及取保候审的相关程序。其中明确指出，对于需要继续侦查，并且符合取保候审条件的犯罪嫌疑人，公安机关可以依法取保候审。
二、具体流程与签字部门
申请阶段：
- 被羁押的犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属有权向办案机关（通常是公安机关）提出取保候审的申请。
- 申请人需提交书面申请及相关材料，如保证人的身份证明、保证金缴纳证明等。
审核阶段：
- 公安机关收到申请后，会对申请人的条件进行审核，包括是否符合取保候审的法定情形、是否存在社会危险性等因素。
- 这一过程中，公安机关可能会要求申请人补充材料或进行进一步调查。
决定阶段：
- 若公安机关认为申请人符合取保候审的条件，会制作《取保候审决定书》。
- 该决定书需经公安机关的负责人（如局长、分管副局长等具有审批权限的人员）签字批准，以确保决定的合法性和有效性。
执行阶段：
- 公安机关在执行取保候审时，会向犯罪嫌疑人、被告人宣读取保候审决定书，并告知其应遵守的规定和义务。
- 同时，会办理相关手续，如收取保证金、确定保证人、发放取保候审通知书等。
三、特殊情况说明
- 如果犯罪嫌疑人被提请逮捕后，人民检察院不批准逮捕，而公安机关认为需要继续侦查且符合取保候审条件的，也可以依法取保候审。
- 在整个过程中，如果犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属对取保候审的决定有异议，可以依法提出申诉或申请复议。
四、专业建议
- 面对刑事拘留及取保候审等复杂的法律问题，建议及时向我咨询，以获取更详细的法律指导和帮助。
- 在申请取保候审时，应充分准备相关材料，并明确说明申请理由及拟采取的保证方式，以提高申请的成功率。
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