结论：在您描述的情况下，追上并杀死抢钱者是否构成杀人罪，不能一概而论，需要结合具体情形来判断，但一般情况下，这种行为很可能构成故意杀人罪或故意伤害罪（致人死亡），除非存在法定的正当防卫情形。
详细分析
正当防卫的认定：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二十条的规定，正当防卫是指为了使国家、公共利益、本人或者他人的人身、财产和其他权利免受正在进行的不法侵害，而采取的制止不法侵害的行为。如果防卫行为明显超过必要限度造成重大损害的，应当负刑事责任，但是应当减轻或者免除处罚。对正在进行行凶、杀人、抢劫、强奸、绑架以及其他严重危及人身安全的暴力犯罪，采取防卫行为，造成不法侵害人伤亡的，不属于防卫过当，不负刑事责任。
- 在您描述的情况下，如果抢钱行为正在进行，且您为了保护自己的财产安全而采取防卫措施，但防卫行为超出了必要的限度，导致抢钱者死亡，那么您的行为可能构成防卫过当，需要承担一定的刑事责任。然而，如果抢钱行为属于“严重危及人身安全的暴力犯罪”，且您的防卫行为并未超出必要限度，那么您的行为可能构成正当防卫，无需承担刑事责任。但在司法实践中，对于“正在进行”和“必要限度”的认定往往存在争议，需要具体案件具体分析。
故意杀人罪或故意伤害罪（致人死亡）的认定：
- 如果抢钱行为已经结束，或者您在追赶过程中并非出于防卫目的而杀死抢钱者，那么您的行为很可能构成故意杀人罪或故意伤害罪（致人死亡）。故意杀人罪是指故意非法剥夺他人生命的行为，而故意伤害罪（致人死亡）则是指故意伤害他人身体，致人死亡的行为。
- 在这两种情况下，您都需要承担相应的刑事责任。故意杀人罪的刑罚较为严厉，可能面临死刑、无期徒刑或者十年以上有期徒刑的处罚；而故意伤害罪（致人死亡）的刑罚则相对较轻，但也可能面临十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑的处罚（具体根据犯罪情节和后果来判定）。
其他可能影响定罪量刑的因素：
- 除了上述因素外，还有一些其他因素可能影响您的定罪量刑，如您的主观故意、犯罪手段、犯罪后的表现等。例如，如果您在犯罪后主动投案自首，如实供述自己的罪行，那么根据《中华人民共和国刑法》第六十七条的规定，您可能获得从轻或者减轻处罚的机会。
建议
- 保持冷静，避免冲动行为：在面对不法侵害时，保持冷静和理智至关重要。避免因为情绪激动而采取过激行为，导致不可挽回的后果。
- 及时报警，寻求法律帮助：如果遭遇不法侵害，应立即报警并寻求法律帮助。警方和律师将能够为您提供专业的指导和支持，帮助您维护自己的合法权益。
- 了解法律，增强法律意识：平时应多了解一些法律知识，增强自己的法律意识。这样在面对不法侵害时，您就能更好地判断自己的行为是否合法，并采取正确的应对措施。
最后，我建议您在遇到类似情况时，务必保持冷静和理智，及时报警并寻求法律帮助。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。