结论：老人先动手后被推倒，是否会留案底，取决于推倒行为是否构成犯罪以及是否受到刑事处罚。若未构成犯罪或未受刑事处罚，则不会留案底；若构成犯罪并受到刑事处罚，则会留案底。

分析说明：

1. 案底的定义：

   • 案底，通常指的是犯罪记录，即某人因犯罪行为被法院判决有罪后，留下的相关记录。这些记录会被保存在公安机关的档案中，对个人的社会信用、就业、出国等方面可能产生一定影响。

2. 是否构成犯罪：

   • 老人先动手后被推倒，这一行为是否构成犯罪，取决于推倒行为的性质、后果以及是否存在防卫过当等情形。
   • 如果推倒行为是为了制止老人的不法侵害，且未超出必要限度，那么可能构成正当防卫，不承担刑事责任。
   • 如果推倒行为超出了必要限度，造成了老人重伤或死亡等严重后果，那么可能构成防卫过当或故意伤害罪等，需要承担刑事责任。

3. 是否受到刑事处罚：

   • 即使推倒行为构成了犯罪，但如果因为情节轻微、自首、立功等原因，被法院免予刑事处罚或判处缓刑等，那么也可能不会留下实际的案底（但法院会有相关记录）。
   • 如果推倒行为构成了犯罪，且被法院判决有罪并受到了刑事处罚（如有期徒刑、拘役等），那么就会留下案底。

特殊场景：

• 如果推倒行为未构成犯罪，但老人或其家属选择了报警，并经过了公安机关的调查处理，那么公安机关可能会有相关的行政处罚记录（如罚款、拘留等），但这不属于犯罪记录，即不是传统意义上的“案底”。
• 如果推倒行为发生在特定的场合（如公共场所、学校等），且引起了较大的社会影响，那么即使未构成犯罪，也可能对推倒者的社会声誉产生一定影响。

后续建议：

• 如果老人或其家属选择了报警，建议推倒者积极配合公安机关的调查处理，如实陈述事实，提供相关证据。
• 如果推倒行为可能构成犯罪，建议推倒者及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及可能面临的法律后果。
• 无论推倒行为是否构成犯罪，都建议双方通过协商、调解等方式解决纠纷，以避免不必要的法律诉讼和社会影响。

法律依据：

• 《中华人民共和国刑法》第二十条关于正当防卫的规定。
• 《中华人民共和国刑法》第二百三十四条关于故意伤害罪的规定。
• 《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释关于犯罪记录的规定。

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