肇事者因交通肇事罪被追究刑事责任后，其关押场所取决于所处的诉讼阶段和最终的判决结果。以下是对此问题的详细分析：

一、侦查、审查起诉及审判阶段（未决犯）

在交通肇事罪案件的侦查、审查起诉及审判阶段，若犯罪嫌疑人被采取刑事拘留、逮捕等强制措施，通常会被关押在当地的看守所。看守所是羁押依法被逮捕、刑事拘留的犯罪嫌疑人的机关，主要职能包括保障刑事诉讼活动的顺利进行、对犯罪嫌疑人进行监管以防止其逃跑、串供或毁灭证据，以及保障犯罪嫌疑人的基本生活权益和合法的诉讼权利。

二、刑罚执行阶段（已决犯）

1. 被判处拘役

若交通肇事罪罪犯被判处拘役，一般会在就近的拘役所执行刑罚。若当地没有设立拘役所，则会在看守所内执行。拘役是一种短期剥夺犯罪分子人身自由，并就近实行强制劳动改造的刑罚方法。在执行期间，被判处拘役的犯罪分子每月可以回家一天至两天，参加劳动的还可以酌量发给报酬。

1. 被判处有期徒刑以上刑罚

当罪犯被判处有期徒刑以上刑罚时，会被送往监狱执行刑罚。监狱是国家的刑罚执行机关，负责对被判处死刑缓期二年执行、无期徒刑、有期徒刑的罪犯执行刑罚。在监狱中，罪犯将接受教育改造以纠正其犯罪行为，组织罪犯进行劳动以使其掌握一定的技能为回归社会做准备，并根据罪犯的表现有可能获得减刑或假释等机会。刑期不同，服刑的监狱也可能不同，一般会根据刑期、性别等因素进行分配。例如，剩余刑期在三个月以下的有期徒刑罪犯，一般在看守所执行；而刑期较长的则会被送往相应的监狱服刑。

三、法律依据与刑罚确定

根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条的规定，违反交通运输管理法规规定，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，将面临以下刑罚：

• 处三年以下有期徒刑或者拘役；
• 交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；
• 因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。

具体的刑罚会根据肇事者的行为严重程度和造成的后果来确定。

总结与建议：

肇事者因交通肇事罪被追究刑事责任后，其关押场所和刑罚执行方式取决于其所处的诉讼阶段和判决结果。在侦查、审查起诉及审判阶段，犯罪嫌疑人通常被关押在看守所；而在刑罚执行阶段，则根据判决结果分别执行拘役或有期徒刑等刑罚，并在相应场所接受教育改造和劳动改造。如果您或您身边的人涉及此类问题，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更详细的法律建议和帮助。