因执行行政拘留导致被拘留人出现经济损失的，被拘留人可通过以下途径寻求救济：

1. 确认拘留合法性，区分责任归属
   首先需明确行政拘留的合法性。若拘留决定被依法撤销（如程序违法、事实认定错误等），根据《国家赔偿法》第三条，行政机关的违法行为导致公民财产损失的，受害人有取得赔偿的权利。此时，经济损失的赔偿需以拘留行为被确认违法为前提。

2. 经济损失的赔偿范围与条件
   根据《国家赔偿法》第三十六条，赔偿范围通常限于直接损失，例如：

   • 因拘留导致无法正常经营产生的直接收入减少（需提供经营合同、纳税记录等证据）；
     
   • 拘留期间必要物品损坏或丢失的直接损失（如眼镜、药物等）；
     
   • 其他因拘留直接引发的合理费用（如委托他人处理紧急事务的合理支出）。
     注意：间接损失（如预期收益、商业机会损失）一般不予赔偿。

3. 申请赔偿的具体流程

   • 步骤一：向作出拘留决定的行政机关提出书面赔偿申请，说明损失事实、金额及依据（需附证据材料，如医疗费发票、合同等）；
     
   • 步骤二：行政机关应在收到申请后2个月内作出赔偿决定。若逾期未答复或对决定不服，可在3个月内向法院提起行政赔偿诉讼；
     
   • 步骤三：法院审理时，需由被拘留人举证证明损失与拘留行为的因果关系及具体金额。

4. 特殊情形：拘留合法但存在程序瑕疵
   若拘留决定合法，但执行过程中存在程序瑕疵（如超期拘留、未依法通知家属等），可能引发部分赔偿。例如，超期拘留期间产生的额外损失（如额外委托看护的费用），可主张与超期行为存在直接关联的部分。

建议行动：

• 立即收集与损失相关的证据（如合同、发票、医疗记录等）；
  
• 书面要求拘留决定机关出具《行政拘留决定书》及执行记录，确认拘留期限及程序合法性；
  
• 若对拘留合法性存疑，可同步申请行政复议或提起行政诉讼，确认违法后启动赔偿程序。
  

如有进一步细节需分析（如损失类型、拘留程序等），可随时补充说明，我会结合具体情形提供针对性建议。