担保人承担还款后，其追偿权的诉讼时效中断并非必须通过诉讼方式，还可以通过其他法定方式实现。以下是对此问题的详细分析：

一、诉讼时效中断的法定方式

根据《中华人民共和国民法典》及相关司法解释的规定，诉讼时效中断的法定方式主要包括以下几种：

1. 权利人向义务人提出履行请求：担保人在承担还款责任后，可以向债务人（即原借款人）提出履行追偿权的请求，这构成诉讼时效中断的法定事由。
2. 义务人同意履行义务：如果债务人明确表示同意履行还款义务，这也将导致诉讼时效的中断。
3. 权利人提起诉讼或者申请仲裁：担保人可以通过向法院提起诉讼或向仲裁机构申请仲裁的方式，来中断诉讼时效。这是最为直接和有效的方式，但并非唯一方式。
4. 与提起诉讼或者申请仲裁具有同等效力的其他情形：这包括但不限于权利人申请支付令、申请破产债权申报、申请强制执行等，这些情形同样具有中断诉讼时效的法律效力。

二、担保人追偿权诉讼时效中断的具体应用

在担保人承担还款责任后，其追偿权的诉讼时效期间通常为三年，自担保人实际承担还款责任之日起计算。为了保障自己的合法权益，担保人可以采取以下措施来中断诉讼时效：

1. 及时向债务人发出书面催款通知：通过书面形式明确要求债务人履行还款义务，并保留好相关证据，如邮寄凭证、签收记录等。
2. 与债务人协商还款事宜：在协商过程中，可以明确要求债务人确认债务金额及还款期限，并保留好协商记录或签订还款协议。
3. 在必要时提起诉讼或申请仲裁：如果债务人拒绝履行还款义务或协商无果，担保人应及时向法院提起诉讼或向仲裁机构申请仲裁，以中断诉讼时效并寻求法律保护。

三、注意事项

1. 保留好相关证据：无论采取哪种方式中断诉讼时效，担保人都应保留好相关证据，如催款通知、协商记录、诉讼或仲裁文书等，以证明自己在诉讼时效期间内积极主张了权利。
2. 关注诉讼时效的起算点：担保人应准确计算诉讼时效的起算点，即自己实际承担还款责任之日，以确保在诉讼时效期间内行使追偿权。
3. 及时咨询专业律师：如果担保人对诉讼时效的计算、中断或行使追偿权等方面存在疑问或困惑，应及时咨询专业律师以获取法律帮助和指导。