核心结论：欠条未约定还款日时，债权人可随时要求债务人还款，但需给予合理期限；若债务人拒绝还款，债权人可通过法律途径解决。以下是具体分析：

1. 法律对未约定还款日的欠条的处理原则
   根据《中华人民共和国民法典》第六百七十五条，借款人应当按照约定的期限返还借款。对借款期限没有约定或者约定不明确，依据本法第五百一十条的规定仍不能确定的，借款人可以随时返还；贷款人可以催告借款人在合理期限内返还。
   具体操作：债权人可先与债务人协商补充还款期限；若协商不成，可通过书面催告（如律师函、短信、邮件等）要求债务人在合理期限内还款（通常为15天至3个月，具体根据债务金额和实际情况判断）。

2. 诉讼时效的起算点
   未约定还款日的欠条，诉讼时效从债权人要求债务人履行义务的宽限期届满之日起计算，或债务人明确表示不履行义务之日起计算，最长不超过20年。
   关键点：

   • 若债权人从未催告，诉讼时效可能未起算；
     
   • 若债权人已催告但未留存证据（如书面催告记录），可能面临举证困难；
     
   • 建议通过书面形式催告并保留证据（如签收回执、公证送达等）。

3. 实务建议

   • 补充协议：优先与债务人签订补充协议，明确还款期限和违约责任（如逾期利息、违约金等）；
     
   • 催告留痕：通过EMS邮寄催告函（备注文件名称）、录音录像、微信聊天记录等方式固定催告事实；
     
   • 起诉准备：若债务人仍不还款，可准备欠条原件、催告记录、转账凭证等证据向法院起诉，并申请财产保全以保障执行；
     
   • 风险规避：若债务人已失联或无偿还能力，可考虑在起诉前申请宣告债务人失踪或破产（如为企业）。

总结：未约定还款日的欠条仍受法律保护，但需通过催告或补充协议明确履行期限。建议尽早采取行动，避免因诉讼时效或证据缺失导致权利受损。如有具体案件细节需要分析，可进一步向我咨询。