结论：私信辱骂虽然没有公开辱骂，但仍然构成对他人人格权的侵害，被辱骂方有权要求辱骂方道歉。针对此类情况，被辱骂方可以采取多种措施来维护自己的合法权益。
法律分析：
人格权保护：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人享有生命权、身体权、健康权、姓名权、肖像权、名誉权、荣誉权、隐私权等人格权。私信辱骂他人，即使未公开，也侵犯了他人的名誉权或隐私权等人格权。
- 名誉权是公民或法人保持并维护自己名誉的权利，任何组织或者个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人的名誉权。私信辱骂显然属于侮辱行为，因此构成对名誉权的侵害。
道歉的法律依据：
- 当人格权受到侵害时，受害人有权依照法律规定请求行为人承担民事责任，其中包括停止侵害、排除妨碍、消除危险、消除影响、恢复名誉、赔礼道歉等。
- 因此，被私信辱骂的一方有权要求辱骂方赔礼道歉，以恢复其名誉或消除不良影响。
处理建议：
收集证据：
- 被辱骂方应首先保存好私信辱骂的聊天记录、截图等证据，以便在后续维权过程中证明辱骂行为的存在。
与辱骂方沟通：
- 在证据充分的情况下，被辱骂方可以尝试与辱骂方进行沟通，要求其停止辱骂行为并赔礼道歉。如果辱骂方愿意配合，双方可以达成和解协议。
寻求第三方调解：
- 如果双方沟通无果，被辱骂方可以寻求第三方调解机构的帮助，如人民调解委员会等。调解机构可以协助双方进行协商，促成和解。
提起诉讼：
- 如果辱骂方拒绝道歉或调解无果，被辱骂方可以向人民法院提起诉讼，要求辱骂方承担民事责任，包括赔礼道歉、赔偿损失等。
- 在诉讼过程中，被辱骂方需要提交充分的证据证明辱骂行为的存在以及因此造成的损害后果。
可能后果：
- 如果辱骂方被法院认定构成侵权，将需要承担赔礼道歉、赔偿损失等民事责任。
- 如果辱骂行为情节严重，构成侮辱罪或诽谤罪等刑事犯罪的，辱骂方还可能面临刑事处罚。
总结与建议：
私信辱骂虽然没有公开辱骂，但仍然构成对他人人格权的侵害。被辱骂方应积极收集证据，与辱骂方沟通或寻求第三方调解，必要时可以提起诉讼来维护自己的合法权益。如果你或你身边的人遇到了类似情况，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律建议。