结论：私自卖老婆的项链，收购方的行为是否犯法，需根据具体情况判断，若项链属于夫妻共同财产且未经妻子同意出售，收购方可能因善意取得与否而面临不同法律后果。

详细分析：

1. 项链的财产性质：

   • 若项链是妻子个人财产（如婚前购买、接受赠与且明确只赠与妻子等），则丈夫无权私自出售。此时，收购方若明知或应知项链非丈夫所有而购买，可能构成对妻子财产权的侵害，需承担相应法律责任。
   • 若项链属于夫妻共同财产（如婚后购买），则丈夫虽有权参与管理，但无权单独处分。未经妻子同意出售共同财产，属于无权处分。

2. 收购方的法律责任：

   • 善意取得情况：如果收购方在购买时并不知道项链是夫妻共同财产，且以合理价格购买，已经交付，那么根据《中华人民共和国民法典》中关于善意取得的规定，收购方可能取得项链的所有权，不构成犯法。但妻子有权向丈夫追偿因出售项链所造成的损失。
   • 非善意取得情况：如果收购方明知或应知项链是夫妻共同财产，或者以明显不合理的低价购买，那么收购方的行为可能构成对妻子财产权的侵害，需要承担返还财产、赔偿损失等法律责任。

3. 实际案例与法律建议：

   • 在实际案例中，法院会综合考虑收购方的知情情况、购买价格、交易过程等因素来判断是否构成善意取得。
   • 法律建议：对于收购方而言，在购买贵重物品时，应要求出售方提供完整的产权证明，并尽可能了解物品的来源和所有权情况，以避免陷入法律纠纷。对于妻子而言，如果发现丈夫私自出售共同财产，应及时收集证据，如购买凭证、交易记录等，并向法院提起诉讼，维护自己的合法权益。

后续行动建议：

• 如果您是妻子一方，发现丈夫私自出售了您的项链，建议您尽快收集相关证据，如购买发票、交易记录、证人证言等，以便在必要时向法院提起诉讼。
• 如果您是收购方，且对项链的所有权存在疑虑，建议您暂停处理该项链，并咨询专业律师，了解自己的法律风险和可能的法律责任。

如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。