针对您提出的问题，关于20年前私自抱养且用假出生证上户口的孩子现在想断绝关系，以及应承担的责任，以下是我为您提供的详细解答：

首先，关于断绝关系的方式，目前主要有两种：协议解除和诉讼解除。

1. 协议解除收养关系：

   • 条件：需要包括被收养人（如果已成年）、送养人（如果存在）和收养人等收养关系当事人必须一致同意。若养子女已年满八周岁，还需征得其本人同意。
   • 程序：应符合自由自愿基础上的真实表示，不能存在裹挟、胁迫等情形，且不违反法律规定和公序良俗。之后，须到收养登记机关办理协议解除收养关系的登记。
   • 注意事项：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，建议在协议中明确和妥善处理补偿收养人支出的抚养费等事宜。

2. 诉讼解除收养关系：

   • 条件：若收养关系当事人对于是否解除收养关系和涉及的相关事宜无法取得一致意见，任何一方当事人都有权诉请法院予以解决。
   • 情形：通常涉及收养人不履行抚养义务、有虐待遗弃等侵害未成年养子女合法权益行为、生父母故意泄露收养秘密或有其他不利于收养关系的事实发生、养父母与成年养子女关系恶化且再继续共同生活对双方确实不利等。
   • 裁量：对于不利于收养关系的因素是否足以构成解除收养关系的充分依据，由人民法院根据其程度，从最有利于未成年的被收养人原则以及保护其他收养关系当事人的合法权益出发而进行裁量。

接下来，关于应承担的责任：

• 法律责任：由于您提到是用假出生证上户口，这一行为可能涉及伪造证件等违法行为。虽然这一行为发生在20年前，但一旦被发现，仍可能面临法律责任。不过，具体责任需根据当时的法律法规以及具体情况来判定。
• 道德责任：作为收养人，您对被收养人有一定的抚养和教育责任。即使现在想要断绝关系，也应考虑被收养人的感受和利益，尽量通过和平、协商的方式解决。
• 经济责任：如果通过协议解除收养关系，且协议中明确了补偿收养人支出的抚养费等事宜，那么您需要按照协议履行相应的经济责任。如果通过诉讼解除，法院也会根据具体情况判决相应的经济责任。

综上所述，我建议您首先尝试与被收养人（如果已成年）进行协商，看是否能够达成协议解除收养关系。如果无法达成一致，再考虑通过诉讼途径解决。同时，您也应咨询专业律师，了解具体的法律责任和可能面临的后果，以便做出更明智的决策。