家政公司一般不可以直接向雇主索赔，但具体需视护工与家政公司、雇主之间的法律关系及事故责任划分而定。以下从不同角度为你详细分析：
一、护工与家政公司、雇主之间的法律关系
护工与家政公司：
- 若护工是家政公司的员工，双方存在劳动关系，那么家政公司作为用人单位，需对护工在工作过程中受到的伤害承担相应的工伤保险责任（如果已缴纳工伤保险）或民事赔偿责任（如果未缴纳工伤保险）。
- 若护工与家政公司是劳务关系（如家政公司仅作为中介介绍护工给雇主），则家政公司一般不对护工的伤害承担责任，除非家政公司在介绍过程中存在过错（如未尽到审查义务，介绍了不具备相应资质或能力的护工）。
护工与雇主：
- 护工在为雇主提供服务过程中，若因工作原因受到伤害，且雇主同意护工外出这一行为与事故发生存在因果关系（如雇主指示护工外出购买物品，途中发生事故），则雇主可能需承担一定的赔偿责任。
- 若护工外出是私自行为，与工作无关，且雇主对此不知情或未同意，则雇主一般不承担赔偿责任。
二、家政公司向雇主索赔的可能性
家政公司作为用人单位：
- 如果护工是家政公司的员工，且事故发生在工作过程中（包括雇主同意的外出行为，如果该行为被视为工作的一部分或与工作相关），家政公司应首先承担工伤保险责任或民事赔偿责任。家政公司承担责任后，若认为雇主存在过错（如指示护工从事危险行为），可向雇主追偿，但这属于家政公司与雇主之间的内部责任划分，不直接构成家政公司向雇主索赔的法律依据。
家政公司作为中介：
- 如果家政公司仅作为中介介绍护工给雇主，且家政公司在介绍过程中无过错，那么家政公司一般不对护工的伤害承担责任，也就无权直接向雇主索赔。
- 若家政公司在介绍过程中存在过错（如未审查护工资质），导致护工在工作中受伤，家政公司可能需承担一定的赔偿责任，但这与雇主同意护工外出无直接关系，除非雇主也参与了过错行为（如明知护工无资质仍雇佣）。
三、建议与后续行动
明确法律关系：
- 首先需明确护工与家政公司、雇主之间的法律关系，这是确定责任主体的关键。
收集证据：
- 收集与事故相关的证据，如事故现场照片、证人证言、医疗记录等，以证明事故的发生经过及责任划分。
协商或诉讼：
- 根据事故责任划分，各方可协商解决赔偿事宜。若协商不成，可依法向人民法院提起诉讼，由法院根据事实和法律作出判决。
咨询专业律师：
- 由于劳动纠纷和侵权责任纠纷涉及复杂的法律关系和证据收集，建议各方在处理此类纠纷时咨询专业律师，以维护自身合法权益。你有问题可以直接向我咨询，我会结合你的具体情况为你详细解答。