刑事受案通知书的下达，通常标志着案件已经进入了公安机关的初步受理阶段。以下是对这一阶段的详细解释：

1. 初步受理阶段：

   • 当公安机关接到报案、控告、举报或自首等材料后，会进行初步审查。如果认为有犯罪事实需要追究刑事责任，且属于自己管辖的，就会决定受理案件，并制作《刑事受案通知书》送达报案人、控告人、举报人或自首人。这一阶段主要是公安机关对案件进行初步了解和评估，确定是否需要进一步立案侦查。

2. 立案前的准备：

   • 在下达刑事受案通知书后，公安机关会开始收集与案件相关的证据材料，如询问证人、勘验现场、检查物品等。这些工作是为了为后续的立案侦查提供充分的依据。如果经过初步调查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任，且证据确实、充分的，公安机关就会正式立案，并展开全面的侦查工作。

3. 对当事人的影响：

   • 对于报案人、控告人、举报人或自首人来说，收到刑事受案通知书意味着他们的报案、控告、举报或自首已经被公安机关正式受理，案件已经进入了刑事诉讼程序。他们可以积极配合公安机关的调查工作，提供必要的证据和信息，以协助公安机关查明案件事实。

4. 后续流程：

   • 如果案件被正式立案，公安机关会展开全面的侦查工作，包括收集证据、询问犯罪嫌疑人、搜查、扣押等。侦查终结后，公安机关会将案件移送人民检察院审查起诉。人民检察院审查后，认为犯罪事实清楚、证据确实充分的，会向人民法院提起公诉。最终，案件将由人民法院进行审判。

建议：

• 如果您或您身边的人收到了刑事受案通知书，建议积极配合公安机关的调查工作，如实提供证据和信息。
• 同时，也可以咨询专业律师（比如我，莫路添律师，专注于刑事辩护领域），了解案件的具体情况和可能的法律后果，以便更好地维护自己的合法权益。

在整个刑事诉讼过程中，每个阶段都有其特定的法律程序和要求。因此，如果您对案件的进展或法律程序有任何疑问，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。