结论：在公立医院医生私自行医损害他人健康权的案件中，可以申请第三人出庭，但具体是否准许需由法院根据案件情况决定。以下从多个角度进行详细分析：
一、法律背景与依据
第三人出庭的法律依据：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，与案件处理结果有利害关系的第三人，可以申请参加诉讼，或者由人民法院通知其参加诉讼。第三人参加诉讼的目的是为了维护自己的合法权益，确保案件的公正审理。
医生私自行医的法律性质：
- 医生在公立医院外私自行医，若未经医院许可或违反医院规定，可能构成非法行医或违反职业道德的行为。若因此损害他人健康权，医生需承担相应的法律责任。
二、申请第三人出庭的适用情况
第三人与案件有利害关系：
- 在医生私自行医损害他人健康权的案件中，若存在其他与案件处理结果有利害关系的主体（如医院、保险公司等），这些主体可以作为第三人申请出庭。例如，医院可能因医生的行为而面临管理责任或声誉损失，保险公司可能因涉及赔偿问题而需要参与诉讼。
第三人出庭的必要性：
- 第三人出庭有助于法院全面了解案件事实，查明各方责任。例如，医院出庭可以说明医生的行为是否违反医院规定，保险公司出庭可以说明赔偿范围和标准等。
三、申请第三人出庭的流程与注意事项
申请流程：
- 当事人或第三人需向法院提交书面申请，说明申请出庭的理由和目的。
- 法院在收到申请后，会进行审查并决定是否准许第三人出庭。
注意事项：
- 申请出庭的第三人需与案件处理结果有利害关系，否则法院可能不予准许。
- 第三人出庭应遵守法庭纪律，不得干扰诉讼秩序。
- 第三人出庭后，有权陈述意见、提供证据，并参与法庭辩论。
四、可能涉及的法律后果
医生责任：
- 若医生私自行医行为被认定为非法行医或违反职业道德，医生需承担相应的民事责任（如赔偿损失）和行政责任（如罚款、吊销执业证书等）。
医院责任：
- 若医院对医生的管理存在疏忽或过错，医院可能需承担一定的管理责任。
第三人责任：
- 若第三人（如保险公司）在案件中存在过错或需承担赔偿责任，第三人需根据法院判决履行相应义务。
五、建议与行动指南
收集证据：
- 当事人应收集与医生私自行医行为相关的证据（如医疗记录、证人证言等），以证明医生的行为与损害结果之间的因果关系。
咨询专业律师：
- 在申请第三人出庭或参与诉讼前，建议咨询专业律师以了解案件的法律性质和可能的法律后果。
及时申请出庭：
- 若认为第三人出庭对案件处理有重要影响，应及时向法院提交申请并说明理由。
如有进一步疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况提供详细的法律建议和指导。