结论：嫖娼被拘留后，公司是否可以开除员工，主要取决于公司规章制度的规定以及该行为的性质和影响。若公司规章制度明确规定嫖娼等行政违法行为属于严重违反规章制度的情形，并且这些规章制度已经过民主程序制定并公示告知员工，则公司有权依据规章制度合法解除与员工的劳动关系；否则，公司直接开除员工可能构成违法解除劳动合同，需支付经济赔偿金。
详细分析：
公职单位的情况：
- 对于公职人员，如国家机关、国有企业、事业单位的员工，由于其代表着国家形象，有着更高的道德和纪律要求。一旦公职人员因嫖娼被依法处理，通常会面临严重的纪律处分，甚至可能被开除公职。这一处理原则在《公职人员政务处分法》及《行政机关公务员处分条例》等相关法规中均有体现。
普通企业的情况：
- 规章制度合法且明确规定：
- 如果普通企业的规章制度中明确将员工参与嫖娼等违法犯罪行为列为严重违反公司纪律的情形，并规定了相应的解除劳动合同的后果，且该规章制度已经合法制定并向员工进行了公示告知，那么企业在员工因嫖娼被发现后，是有权依据规章制度将其开除的，且不需要支付经济补偿。
- 规章制度不合法或未明确规定：
- 如果企业没有相关明确规定，或者规章制度制定程序不合法（如未经民主程序制定）、内容不合理、未向员工进行公示告知等，那么企业不能随意以此为由开除员工。否则，企业可能面临劳动纠纷和支付经济赔偿金等法律风险。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
法律后果与考量：
- 对员工的影响：
- 嫖娼行为不仅违法，而且可能严重损害员工的个人声誉和职业前景。即使公司不开除，该行为也可能对员工在公司内的晋升、评优等产生负面影响。
- 对公司的影响：
- 嫖娼行为可能损害公司的声誉和形象，尤其是当员工的行为被公开或媒体报道时。因此，公司可能基于维护企业形象的考虑而采取相应的管理措施，包括但不限于警告、调岗、降薪等。但这些措施应在法律允许的范围内，并确保不侵犯员工的合法权益。
建议：
对于员工：
- 严格遵守法律法规，远离嫖娼等违法行为，以维护自己的合法权益和社会秩序。
- 如果因嫖娼被公司开除，且认为公司的开除行为违法，可以依法向劳动争议仲裁机构或人民法院提起诉讼，要求公司支付赔偿金。
对于公司：
- 制定和完善公司规章制度，明确将嫖娼等行政违法行为列为严重违反公司纪律的情形，并规定相应的处理措施。
- 在处理员工嫖娼问题时，应严格遵守法律法规和公司规章制度，确保处理程序的合法性和公正性。
- 如需开除员工，应确保有充分的法律依据和事实依据，并遵循合法的解除程序，以避免法律风险。
总之，嫖娼被拘留后公司是否可以开除员工，需综合考虑多方面因素。在处理此类问题时，公司和员工都应谨慎行事，确保自身行为符合法律法规的要求。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。