醉驾拘役期间逃跑，将面临更为严厉的法律后果，具体包括被逮捕归案、原判刑罚加重执行、可能构成脱逃罪等。以下是对此问题的详细分析：

1. 被逮捕归案：

   • 拘役是刑罚的一种，执行期间逃跑属于逃避法律制裁的行为。
   • 司法机关会立即启动追捕程序，通过公安、检察、法院等部门的协作，将逃跑者逮捕归案。

2. 原判刑罚加重执行：

   • 逃跑期间，原判的拘役刑期不会中断计算，而是会继续计算。
   • 一旦被抓获，逃跑者不仅需要服完原判的拘役刑期，还可能因逃跑行为而面临额外的处罚，如加刑或延长刑期（具体根据逃跑的情节和后果由法院裁定）。

3. 可能构成脱逃罪：

   • 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，依法被关押的罪犯、被告人、犯罪嫌疑人逃脱司法机关的羁押和监管的，构成脱逃罪。
   • 如果醉驾拘役逃跑者被认定为构成脱逃罪，将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制的刑罚。这与原判的醉驾拘役刑罚将数罪并罚，导致总刑期更长。

4. 其他后果：

   • 逃跑行为还会影响个人的信用记录和社会评价，对未来的生活和工作产生负面影响。
   • 在逃跑期间，如果再次犯罪或发生其他违法行为，将面临更为严重的法律后果。

建议：

• 如果已经因醉驾被判处拘役，应遵守法律法规，按时到指定地点报到并接受改造。
• 如果有任何困难或问题，应及时与司法机关沟通并寻求帮助，而不是选择逃跑。
• 逃跑不是解决问题的办法，只会让问题变得更加复杂和严重。

作为律师，我提醒您要尊重法律、遵守法律，不要试图逃避法律制裁。如果您或您身边的人有醉驾或其他法律问题，欢迎直接向我咨询，我会为您提供专业、全面的法律解答。