销售走私的石油，可能构成走私普通货物、物品罪，该案件应由海关缉私部门负责处理。以下是对此问题的详细分析：
一、法律定性
走私普通货物、物品罪：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，走私普通货物、物品罪是指违反海关法规，逃避海关监管，非法运输、携带、邮寄国家禁止进出口的武器、弹药、核材料、伪造的货币、文物、珍贵动物及其制品、贵重金属、国家秘密文件等特殊物品，或者偷逃应缴税额较大或者一年内曾因走私被给予二次行政处罚后又走私的普通货物、物品的行为。
- 石油作为国家重要的战略资源，其进出口受到严格的监管。销售走私的石油，即参与了走私活动的销售环节，同样构成走私普通货物、物品罪。
共同犯罪：
- 如果销售走私石油的行为人与走私石油的进口、运输等环节的行为人存在共同故意，即明知是走私的石油而进行销售，那么他们可能构成共同犯罪。在共同犯罪中，各行为人根据其在犯罪中的作用和地位，承担相应的刑事责任。
二、法律后果
刑事处罚：
- 根据走私石油的数量、价值以及偷逃应缴税额的大小，销售走私石油的行为人可能面临不同程度的刑事处罚。一般来说，走私数额较大或者情节严重的，可能处三年以下有期徒刑或者拘役，并处偷逃应缴税额一倍以上五倍以下罚金；数额巨大或者情节特别严重的，可能处三年以上十年以下有期徒刑，并处偷逃应缴税额一倍以上五倍以下罚金；情节特别严重的，甚至可能处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处偷逃应缴税额一倍以上五倍以下罚金或者没收财产。
行政处罚：
- 除了刑事处罚外，销售走私石油的行为人还可能面临海关等行政部门的行政处罚，如罚款、没收违法所得等。
三、处理部门
海关缉私部门：
- 走私案件通常由海关缉私部门负责侦查和处理。海关缉私部门具有专业的侦查力量和丰富的办案经验，能够有效地打击走私犯罪活动。
其他相关部门：
- 在处理走私案件时，海关缉私部门可能会与其他相关部门如公安机关、检察机关等密切合作，共同打击走私犯罪。
四、建议与提醒
遵守法律法规：
- 销售石油等受国家监管的商品时，务必遵守相关法律法规，确保合法经营。切勿因一时贪念而触犯法律，导致严重的法律后果。
增强法律意识：
- 企业和个人应增强法律意识，了解走私犯罪的危害性和法律后果。在经营活动中，要时刻保持警惕，避免与走私活动产生任何关联。
积极配合调查：
- 如果不幸涉及走私案件，应积极配合海关等行政部门的调查工作，如实陈述事实、提供证据。同时，也可以寻求专业律师的帮助，以维护自己的合法权益。
如果您或您身边的人涉及此类问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。