当遇到出租车撞人后不垫付医药费的情况时，您和您的家属可以采取以下一系列措施来维护自身权益：
一、及时报警并妥善保留证据
立即报警：在事故发生后，首要任务是拨打122或110报警电话，让交警部门迅速介入，对事故现场进行勘查，并作出责任认定。这份责任认定书将是后续处理赔偿问题的重要法律依据。
保留证据：尽可能收集并保留所有与事故相关的证据，包括但不限于现场照片、视频、目击者证言、医疗记录、费用清单等。这些证据在后续的协商或诉讼过程中将起到至关重要的作用。
二、深入了解法律义务与保险流程
明确法律义务：根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，医疗机构有义务及时抢救交通事故中的受伤人员，不得因抢救费用未及时支付而拖延救治。同时，如果肇事车辆参加了机动车第三者责任强制保险，那么保险公司应在责任限额范围内支付抢救费用。
启动保险理赔：如果出租车已经投保了交强险和商业三者险，那么您可以直接联系保险公司，按照保险流程申请理赔。保险公司有责任在责任限额内承担医疗费用的赔偿责任。
三、多渠道寻求费用支持
申请道路交通事故社会救助基金：在特定情况下，如抢救费用超过交强险责任限额、肇事机动车未参保或肇事后逃逸等，您可以向道路交通事故社会救助基金申请垫付部分或全部抢救费用。
协商分期支付：您可以主动与出租车司机或其所属公司进行沟通，提出分期支付医疗费的方案。这样既可以缓解您的经济压力，也有助于避免矛盾的进一步激化。
申请法律援助：如果您经济困难，无法承担律师费用，可以通过当地司法局的法律援助中心获取专业律师的免费代理诉讼服务。
四、通过法律途径坚决主张权利
提起民事诉讼：如果协商无果，您可以向法院提起民事诉讼，要求出租车司机、车主及保险公司承担相应的赔偿责任。在诉讼过程中，您需要准备充分的证据材料，如交通事故责任认定书、医疗票据等。
申请财产保全：为了防止对方转移财产影响后续执行，您可以在诉讼过程中申请冻结其银行账户、查封车辆等保全措施。
五、密切关注执行程序以保障权益
申请执行：如果您胜诉后对方拒不履行判决，您可以向法院申请强制执行。法院将通过拍卖财产等方式来实现您的债权。
持续跟进：在执行过程中，您需要定期与执行法官沟通案件进展，一旦发现被执行人的财产线索，应及时提供给法院，以确保赔偿款能够顺利到位。
希望这些建议能够帮助您和您的家属有效应对当前困境，维护自身合法权益。