劳务派遣员工在发生争议时，完全有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。以下是从不同角度对这一问题的详细解答：

一、法律依据与适用情形

根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条的规定，劳务派遣员工与用人单位（劳务派遣单位）或用工单位之间因劳动关系产生的争议，均属于劳动仲裁的受理范围。具体来说，这些争议包括但不限于：

1. 与劳务派遣单位的争议：如劳动报酬纠纷（拖欠工资、未足额支付加班工资等）、社会保险问题（未依法缴纳社会保险费）、劳动合同纠纷（未签订书面劳动合同、违法解除或终止劳动合同等）。
2. 与用工单位的争议：主要涉及工作条件和劳动保护问题、加班和休息休假权益受损等。虽然这些争议不能直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁（除非用工单位作为共同被申请人），但劳务派遣员工仍可以通过将劳务派遣单位和用工单位列为共同被申请人的方式，在劳动仲裁中寻求解决。

二、申请劳动仲裁的流程

1. 确定被申请人：根据争议的具体情况和诉求，明确被申请人是劳务派遣单位还是用工单位，或者将二者列为共同被申请人。
2. 准备证据：收集并整理好相关证据，如劳动合同、工资条、银行工资流水明细、工作证、考勤记录、加班通知、解除劳动合同通知书等，以证明劳动关系的存在和权益受损的事实。
3. 提交申请：向当地劳动争议仲裁委员会提交劳动仲裁申请书和证据材料，申请立案。
4. 受理与通知：仲裁机构在受理申请后，会及时通知申请人和被申请人，并告知相关权利和义务。
5. 开庭审理：仲裁机构会组织开庭审理，双方当事人在庭审过程中进行陈述、举证和质证，以查明事实、分清责任。
6. 裁决与执行：经过审理后，仲裁机构会作出裁决。若一方当事人对裁决不服，可以在规定时间内向人民法院提起诉讼。若裁决生效，则双方当事人应履行裁决结果，否则可申请强制执行。

三、申请劳动仲裁的注意事项

1. 注意时效问题：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳务派遣员工应及时行使权利，避免超过时效期间。
2. 明确仲裁请求：在仲裁申请书中，应明确列出仲裁请求，如支付拖欠工资、经济补偿金、补缴社会保险等，并阐述事实和理由。
3. 遵守仲裁程序：严格按仲裁法规定的程序操作，按时提交申请、参加庭审、答辩等，以确保仲裁程序的顺利进行。

四、后续途径

如对仲裁结果不满意，劳务派遣员工还可以依法向人民法院提起诉讼，进一步维护自己的合法权益。劳动仲裁作为保护劳动者权益的重要途径，在劳务派遣过程中遇到任何争议时，都应积极考虑通过此方式来寻求公正解决。

总结来说，劳务派遣员工在发生争议时，应充分利用法律赋予的权利，通过仲裁途径来维护自身的合法权益。在整个过程中，准备充分的证据材料和了解清晰的仲裁流程是至关重要的。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。