结论前置：当被害人死亡时，其法定代理人聘请律师担任被害人的诉讼代理人，确实有权请求抗诉，以纠正可能存在的错误判决或裁定。以下是关于这一问题的详细解答：
一、可以请求抗诉的主体
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，若被害人死亡，其法定代理人及近亲属均有权向人民检察院提出抗诉请求。法定代理人主要包括被代理人的父母、养父母、监护人以及负有保护责任的机关或团体的代表；近亲属则涵盖夫、妻、父、母、子、女以及同胞兄弟姊妹等。因此，被害人死亡后，其法定代理人作为法定主体，有权聘请律师担任诉讼代理人，并请求抗诉。
二、请求抗诉的流程与材料准备
了解抗诉申请期限：
- 被害人及其法定代理人若对地方各级人民法院的第一审判决不服，应在收到判决书后五日以内（也有说法为十日，但为确保权益，建议尽早行动），向人民检察院提出抗诉请求。人民检察院在收到请求后五日以内，应作出是否抗诉的决定，并答复请求人。
准备申请材料：
- 抗诉申请书：需详细阐述申请抗诉的理由和具体请求，针对原审判决中的事实认定错误、法律适用不当或程序违法等问题进行明确指出。
- 相关证据材料：收集并提交与案件有关的新证据或能支持抗诉理由的证据材料，如新的目击证人证言、未采纳的关键证据等，并整理成清晰的证据清单。
- 原判决书副本：提供原审法院判决书的复印件，以便人民检察院全面了解案件情况和原审判决内容。
- 身份证明文件：申请人需提供自己的身份证明，如身份证、户口本等，以证明自己的法定代理人身份。
- 被害人死亡证明：提交被害人的死亡证明，以证实被害人已经死亡的事实。
提交申请：
- 将准备好的抗诉申请材料提交给作出一审判决法院的同级人民检察院。提交方式可以是当面递交、邮寄等，但务必保留好提交凭证，如邮寄单号。
等待检察院审查决定：
- 人民检察院会对申请材料进行全面审查，必要时进行调查核实。
- 在收到请求后五日以内，人民检察院会作出是否抗诉的决定，并答复申请人。若决定抗诉，将按照法定程序向上一级人民法院提出；若决定不抗诉，也会向申请人说明理由。
三、后续程序与注意事项
检察院决定抗诉：
- 若人民检察院决定抗诉，人民法院将对抗诉进行审理，并重新对案件作出判决。在此过程中，法定代理人应积极配合检察院的工作，提供必要的协助。
检察院决定不抗诉：
- 若对检察院不抗诉的决定不服，法定代理人可以进一步向上级人民检察院申诉，要求复查。
专业指导与协助：
- 由于抗诉申请涉及复杂的法律程序和专业知识，建议法定代理人在聘请律师担任诉讼代理人的同时，充分听取律师的专业意见，确保抗诉申请的合法性和有效性。
举例说明：假设在一起故意伤害案中，被害人因伤势过重不幸去世。被害人的父母作为法定代理人，对一审法院的判决结果不服，认为判决在事实认定和法律适用上存在错误。此时，他们可以聘请律师担任诉讼代理人的角色，准备抗诉申请书和相关证据材料，并在法定期限内向人民检察院提出抗诉请求。
总结与建议：当被害人死亡时，其法定代理人作为法定主体，有权聘请律师担任诉讼代理人并请求抗诉。在请求抗诉的过程中，务必注意抗诉申请的期限、准备充分的申请材料，并积极配合人民检察院的审查工作。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。