当农民工遭遇工资被拖欠的问题时，他们确实可以向人力资源和社会保障局（原劳动局）进行投诉，该部门会依法采取一系列措施来保障农民工的合法权益。以下是具体的处理流程：
一、接待与受理
登记信息与初步判断：农民工在投诉时，人力资源和社会保障局的工作人员会详细记录其基本信息，包括姓名、联系方式、工作单位等，以及拖欠工资的具体情况，如拖欠的时间、金额等。同时，工作人员会初步判断该投诉是否属于劳动保障监察的受理范围。如果属于，会当场受理；如果不属于，会明确告知农民工应向哪个部门寻求帮助。
出具受理回执：一旦受理投诉，人力资源和社会保障局会向农民工出具受理回执，这份回执会明确告知农民工案件已被受理，以及后续的处理流程和大致的时间安排，让农民工对案件的处理进度有清晰的了解。
二、调查核实
证据收集：为了核实拖欠工资的情况，人力资源和社会保障局会要求农民工提供能证明劳动关系和拖欠工资的证据。这些证据可以包括劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、与用人单位的聊天记录等。农民工应尽可能提供全面、真实的证据，以便劳动保障监察部门能够准确判断情况。
立案调查与实地走访：在正式立案后，人力资源和社会保障局会安排监察员对案件展开调查。这包括向用人单位送达《劳动保障监察调查询问通知书》，要求其提供相关资料，如工资支付记录、员工名册等。同时，监察员还可能进行实地走访，询问相关人员，全面了解工资支付情况，确保调查的全面性和准确性。
三、责令改正与监督执行
下达责令改正通知书：如果经过调查确认存在拖欠工资的行为，人力资源和社会保障局会向用人单位下达《劳动保障监察责令改正决定书》，明确要求其在规定时间内支付拖欠的工资。这份决定书具有法律效力，用人单位必须遵守。
监督执行情况：在下达责令改正决定书后，人力资源和社会保障局会密切监督用人单位的执行情况。他们会定期与用人单位联系，了解工资支付进度，确保工资能够得到及时支付。如果用人单位未按时支付工资，劳动保障监察部门会采取进一步的措施。
四、行政处罚与移送司法机关
行政处罚：如果用人单位拒不执行责令改正决定，人力资源和社会保障局有权依据相关法律法规对其进行行政处罚。这可能包括罚款、吊销营业执照等措施。对于恶意拖欠工资的行为，劳动保障监察部门会加大处罚力度，以维护农民工的合法权益。
移送司法机关：如果用人单位的行为涉嫌拒不支付劳动报酬罪，人力资源和社会保障局会将案件移送公安机关立案侦查。公安机关会依法对用人单位及其责任人进行刑事调查，并可能追究其刑事责任。
五、协调解决与法律途径
促进双方协商：在处理拖欠工资问题的过程中，人力资源和社会保障局会积极在农民工和用人单位之间进行协调。他们会组织双方进行面对面沟通，促使双方就工资支付问题达成协议。通过协商解决纠纷，可以节省时间和成本，提高处理效率。
申请劳动仲裁与提起诉讼：如果协商和投诉均无法解决问题，农民工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁委员会会依法对案件进行审理，并作出裁决。如果农民工对仲裁结果不满意，还可以在规定期限内向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自身合法权益。
六、结案与反馈
结案处理：当用人单位按照要求支付了拖欠的工资，或者案件经过处理程序达到法定结案条件时，人力资源和社会保障局会对案件进行结案处理。他们会整理案件材料，归档保存，以备后续查阅。
反馈处理结果：最后，人力资源和社会保障局会及时将案件的处理结果反馈给农民工。他们会告知农民工工资是否已成功追回，以及案件处理过程中的其他相关信息。这样可以让农民工对案件的处理结果有清晰的了解，增强他们对劳动保障监察部门的信任。
在整个处理过程中，农民工应积极配合人力资源和社会保障局的调查工作，并妥善保留相关证据。同时，人力资源和社会保障局也会依法依规处理此类问题，确保农民工的合法权益得到有效保障。