行政赔偿案件申诉的法律程序规定主要包括以下几个方面：

1. 申诉主体与期限：

   • 申诉主体：行政赔偿案件的申诉主体通常为行政赔偿诉讼的当事人，包括原告（赔偿请求人）、被告（赔偿义务机关）以及第三人。
   • 申诉期限：一般情况下，申诉应在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出。若发现新的证据足以推翻原判决、裁定，申诉期限自知道或应当知道之日起六个月内提出。对于行政赔偿调解书，若证明调解违反自愿原则或内容违法，可在两年内提出申诉。

2. 申诉途径与材料：

   • 申诉途径：申诉通常向作出生效裁判的上一级人民法院提出。经过行政复议的案件，也可向复议机关的上级机关反映情况，但正式申诉仍需通过法院系统进行。
   • 申诉材料：申诉时需提交申诉状，写明申诉的事实和理由，并附上相关证据。申诉状应载明当事人的基本情况、申诉请求、事实与理由。以新证据为由申诉的，需同时提供证据目录、证人名单及主要证据复印件。

3. 申诉事由： 当事人可基于以下情形提出申诉：

   • 不予立案或驳回起诉确有错误：符合起诉条件而未被立案或错误驳回。
   • 有新的证据：原审庭审结束后新发现的、足以改变原判决结果的证据。
   • 原判决认定事实的主要证据不足、未经质证或系伪造：证据问题导致裁判错误。
   • 适用法律、法规错误：包括适用不当、错误解释或应用已废止的法规。
   • 违反法定程序：如未按规定送达文书、应回避而未回避等，影响公正审判。
   • 遗漏诉讼请求：法院未全面回应当事人的诉讼请求。
   • 法律文书被撤销或变更：原判决依据的法律文书被有权机关撤销或变更。
   • 审判人员违法违纪：如贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等。

4. 申诉处理与限制：

   • 申诉处理：人民法院接到申诉后依法审查，可要求当事人补充证据。认为原判正确则驳回申诉，维持原判；认为有误则依法改判、撤销或变更。
   • 申诉限制：就同一案件向同一法院一般只能申诉一次。经上一级法院审监程序审理后维持原判的，再次申诉不予受理。对最高人民法院再审裁判或复查驳回的案件，再次申诉不予受理。

5. 申诉执行：

   • 提出申诉不停止生效行政判决、裁定、行政赔偿判决、调解书的执行。这意味着，即使当事人提出了申诉，原判决或裁定的执行仍将继续进行，除非法院依法裁定中止执行。

法律建议：

• 在进行行政赔偿案件申诉时，当事人应确保申诉材料完整、证据充分，并严格按照法定程序和期限提出申诉。
• 申诉前，建议当事人仔细研究原判决、裁定，明确申诉事由和请求，以提高申诉的成功率。
• 若对申诉程序或法律适用有疑问，建议及时咨询专业律师，以获取更具体的法律指导和帮助。