结论：商家老板在其承租人门面上挂优惠横幅是否构成侵权，需根据具体情况判断，主要涉及承租人是否同意、横幅内容是否合法合规以及是否侵犯承租人其他合法权益等几个方面。以下是对这些方面的详细分析：

1. 承租人同意情况：

   • 若承租人同意：商家老板在承租人门面上挂优惠横幅，若事先已获得承租人的明确同意，则通常不构成侵权。因为承租人作为门面的合法使用者，有权决定门面的使用方式，包括允许商家老板在其门面上悬挂横幅进行宣传。
   • 若承租人不同意：若商家老板未经承租人同意，擅自在其门面上挂优惠横幅，则可能构成对承租人门面使用权的侵犯。承租人有权要求商家老板停止侵权行为，并可能要求赔偿因此造成的损失。

2. 横幅内容合法性：

   • 合法内容：即使商家老板获得了承租人的同意，其悬挂的横幅内容也必须合法合规。如果横幅内容涉及虚假宣传、侵犯他人知识产权（如商标、专利、著作权等）或违反法律法规的其他规定，商家老板仍可能面临法律责任。
   • 非法内容：若横幅内容非法，不仅可能构成对承租人的侵权（如因横幅内容导致承租人声誉受损），还可能直接违反相关法律法规，面临行政处罚或民事诉讼等法律后果。

3. 其他合法权益的侵犯：

   • 相邻权：商家老板悬挂横幅时，还需注意不得侵犯相邻权人的合法权益，如不得遮挡相邻店铺的招牌、影响相邻店铺的通风采光等。
   • 公共安全：横幅的悬挂方式也需符合公共安全要求，不得因悬挂不当而危及行人或车辆的安全。

法律建议：

• 商家老板在悬挂优惠横幅前，应事先与承租人沟通并获得其明确同意。
• 确保横幅内容合法合规，不侵犯他人知识产权或违反法律法规的其他规定。
• 悬挂横幅时，注意不得侵犯相邻权人的合法权益或危及公共安全。
• 若因悬挂横幅引发纠纷，建议及时咨询专业律师，以便妥善处理纠纷并维护自身合法权益。

可能法律后果：

• 若商家老板未经承租人同意擅自悬挂横幅，或横幅内容非法，可能面临承租人的索赔要求、行政处罚或民事诉讼等法律后果。
• 若因悬挂横幅导致他人人身或财产损害，商家老板还可能需承担相应的民事赔偿责任。

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