公司与公司之间的产品合同纠纷，通常可以通过以下部门或途径来处理：
内部协商与调解：
- 协商：首先，双方公司可以尝试通过友好协商的方式解决纠纷。这是最直接、成本最低的方式，有助于维护双方的关系和商业信誉。在协商过程中，双方可以就合同条款的解释、履行情况、违约责任等问题进行讨论，寻求共识。
- 调解：如果协商无果，双方可以考虑邀请第三方机构进行调解。这些机构可能包括行业协会、商会或专业的调解组织。调解员会协助双方沟通，提出解决方案，并促使双方达成和解协议。调解具有灵活性和保密性，有助于快速解决纠纷。
仲裁机构裁决：
- 仲裁条款：如果合同中已经约定了仲裁条款，或者在纠纷发生后双方达成了仲裁协议，那么可以向约定的仲裁委员会申请仲裁。仲裁是一种相对快速、灵活的纠纷解决方式，其裁决结果具有法律效力，且通常具有一裁终局的特点。
- 仲裁流程：提交仲裁申请时，需要准备充分的证据材料，并按照仲裁委员会的要求缴纳仲裁费用。仲裁程序一般较为保密，适合希望保护商业秘密的当事人。仲裁裁决作出后，双方应当履行裁决结果，否则可以申请法院强制执行。
人民法院诉讼：
- 诉讼条件：如果合同未约定仲裁条款，或者仲裁无法解决争议，那么可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。诉讼是解决合同纠纷的最终手段，其判决结果具有强制执行力。
- 管辖法院：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，合同纠纷一般由被告住所地或合同履行地人民法院管辖。具体管辖规则需结合案件实际情况确定。如果双方在合同中协议选择了其他与争议有实际联系的地点作为管辖法院，且该协议不违反级别管辖和专属管辖的规定，那么也可以向该法院提起诉讼。
- 诉讼流程：诉讼流程包括立案、举证质证、开庭审理等环节。在诉讼过程中，双方需要提交证据材料，进行法庭辩论，并接受法院的判决。诉讼程序相对较为公开和正式，但也可能耗时较长、成本较高。
行政主管部门处理：
- 适用情形：如果合同纠纷涉及特定行业监管领域，如市场监督、质量监管等，且存在违法违规行为时，可以向相应行政主管部门投诉。例如，如果产品存在质量问题或虚假宣传等违法行为，可以向市场监督管理部门投诉举报。
- 处理流程：行政主管部门将依据职权对纠纷进行调查、调解或处罚。如果调查属实，行政主管部门可能会对违法行为进行处罚，并促使双方达成和解协议或作出其他处理决定。
在处理公司与公司之间的产品合同纠纷时，建议采取以下步骤：
- 检查合同条款：首先检查合同中是否有关于纠纷解决方式的明确约定，如仲裁条款或管辖法院的选择等。
- 收集证据材料：收集与纠纷相关的证据材料，如合同文本、履行记录、沟通记录等，以便在协商、调解、仲裁或诉讼过程中使用。
- 选择合适的解决方式：根据合同条款、纠纷性质、双方关系等因素选择合适的纠纷解决方式。如果希望快速解决纠纷并保护商业秘密，可以考虑仲裁；如果希望获得更广泛的救济途径和更正式的判决结果，可以考虑诉讼；如果希望维护双方关系并降低解决成本，可以考虑协商或调解。
- 寻求专业帮助：在处理纠纷过程中，如果遇到复杂或疑难问题，可以寻求专业律师的帮助。律师可以提供法律意见、协助准备证据材料、代理诉讼或仲裁程序等。
希望以上解答能对你有所帮助。如果你还有其他问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。