结论前置：公司不提供劳动合同影响退休手续办理时，可通过协商、投诉、仲裁或诉讼等途径解决，具体如下：

1. 与公司协商
   首先可尝试与公司协商，明确要求其提供劳动合同。根据《劳动合同法》第十六条，劳动合同由用人单位与劳动者各执一份，公司有义务提供。协商时可要求公司出具书面说明，解释无法提供合同的原因（如遗失、管理疏漏等），并加盖公章作为后续维权证据。

2. 向劳动监察部门投诉
   若协商无果，可向公司所在地的劳动保障监察大队投诉。根据《劳动保障监察条例》第十一条，劳动行政部门有权监察用人单位与劳动者订立劳动合同的情况。投诉时需提交身份证明、劳动关系证明（如工资条、社保记录、工作证等），监察部门将责令公司限期整改，逾期不改正的，可处以罚款。

3. 申请劳动仲裁确认劳动关系
   若公司仍拒绝配合，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，请求确认劳动关系。根据《劳动争议调解仲裁法》第二条，因确认劳动关系发生的争议属于仲裁范围。仲裁时需提供能证明劳动关系的证据（如考勤记录、同事证言、工作邮件等），仲裁裁决具有法律效力，公司需履行。

4. 通过诉讼解决
   若对仲裁结果不服，可在收到裁决书后15日内向法院起诉。法院将根据双方提供的证据综合判断劳动关系是否存在。若法院确认劳动关系，可要求公司补办劳动合同或出具劳动关系证明，以便办理退休手续。

5. 特殊情况处理

   • 合同遗失：若公司因遗失无法提供，可要求其出具书面证明，并加盖公章，同时附上其他劳动关系证据，向社保部门说明情况。
     
   • 未签合同：若公司未与劳动者签订合同，根据《劳动合同法》第八十二条，劳动者可主张双倍工资差额（最多11个月），但需在仲裁时效内（1年）提出。
     
   • 退休手续替代材料：部分地区社保部门允许用其他材料（如档案记载、社保缴费记录等）替代劳动合同，可提前咨询当地社保局要求。

建议：优先通过协商或投诉解决，效率较高；若公司态度强硬，再启动仲裁或诉讼程序。处理过程中注意保留所有沟通记录（如邮件、短信、录音等），作为后续维权证据。如有疑问，可直接向我咨询具体操作细节。