结论：在公司被起诉且法定代表人被刑事拘留的情况下，法院是否会通知被告的法定代表人，这主要取决于案件所处的阶段以及法院的具体操作流程。但通常情况下，在刑事拘留阶段，法院尚未正式介入案件审理，因此可能不会直接通知法定代表人；然而，一旦案件进入法院审理阶段，法院会依法向被告（包括其法定代表人）送达相关法律文书。
详细分析：
刑事拘留阶段：
- 在刑事拘留阶段，这是公安机关对犯罪嫌疑人采取的一种强制措施，目的是为了确保刑事诉讼的顺利进行。此时，案件尚未进入法院审理阶段，因此法院通常不会直接介入。
- 公安机关在刑事拘留后，会依法通知犯罪嫌疑人的家属，但这一通知并不等同于法院的通知。家属在得知情况后，可以及时为犯罪嫌疑人委托律师，以便律师能够及时介入案件，提供法律帮助。
法院审理阶段：
- 一旦案件进入法院审理阶段，法院会依法向被告送达起诉状副本、开庭传票等法律文书。这些文书的送达对象包括被告单位（如果被告是单位的话）及其法定代表人。
- 法院在送达法律文书时，会遵循法定的送达程序，确保被告及其法定代表人能够及时收到并了解案件的相关情况。如果法定代表人因故无法亲自接收，法院也可以采取其他合法方式送达，如邮寄送达、公告送达等。
特殊情况下的通知：
- 在某些特殊情况下，如法定代表人同时是犯罪嫌疑人且被采取刑事强制措施（如刑事拘留、逮捕等），且案件涉及紧急情况或需要法定代表人亲自参与处理时，公安机关或检察机关可能会在通知家属的同时，也通过适当方式告知法定代表人案件的相关情况。但这并不属于法院的正式通知程序。
法律建议：
- 如果您作为公司的法定代表人被刑事拘留，且公司因此被起诉，建议您及时委托律师介入案件。律师可以为您提供专业的法律帮助，包括了解案件情况、申请取保候审、准备辩护材料等。
- 同时，您也可以与公司的其他管理人员或法律顾问保持沟通，确保公司在您无法亲自处理事务期间能够正常运转，并妥善应对法院的送达和其他法律程序。
可能后果：
- 如果法院在审理阶段无法有效送达法律文书给法定代表人，可能会影响案件的审理进程。例如，法院可能会因无法送达而公告送达，这可能会延长案件的审理时间。
- 如果法定代表人因未收到法律文书而未能及时参与案件审理，可能会对其自身的辩护权利产生不利影响。因此，及时委托律师并保持与法院的沟通至关重要。