若行政监督部门不支持复查申请且未给出复查结果，您可以通过以下途径进一步维权：

1. 申请行政复议
   根据《行政复议法》第11条，若您认为行政监督部门的处理行为（包括不作为）侵犯合法权益，可在知道该行为之日起60日内向上一级行政机关或法定复议机构申请复议。需提交书面申请，说明复议请求、事实依据及理由，并附上原处理决定（如有）及复查申请材料。复议机关将审查原处理行为的合法性与合理性，并作出维持、撤销或变更等决定。

2. 提起行政诉讼
   若复议未解决争议或您直接选择诉讼，可依据《行政诉讼法》第12条，在知道行政行为之日起6个月内向法院起诉。需准备起诉状、证据材料（如监督申请记录、不予复查通知等），证明行政监督部门未履行法定职责或处理违法。法院将通过庭审审查行政行为的合法性，并判决撤销、确认违法或责令重新处理。

3. 向上级部门或监察机关投诉
   若行政监督部门存在程序违法（如超期未处理、拒绝接收材料）或工作人员渎职，可向其上级部门或同级监察委实名投诉。需提供具体线索（如时间、地点、经办人等），监察机关将依《监察法》调查并追究责任，可能包括警告、记过直至移送司法机关。

操作建议：

• 证据固定：立即整理所有申请材料、送达回执、沟通记录（如电话录音、邮件）等，证明已依法提出复查申请。
  
• 时效注意：行政复议与诉讼均有严格期限，逾期将丧失救济权，建议优先通过复议快速解决。
  
• 专业协助：若对程序或证据要求不熟悉，可进一步向我咨询具体操作细节，我会结合您的材料提供针对性指导。
  

行政救济途径的核心是“以法律程序约束行政权力”，只要您的申请符合法定条件，行政机关必须依法处理。若遇推诿，及时启动上述程序是关键。