结论：对方的行为很可能构成交通肇事逃逸，同时还可能涉及故意伤害或故意杀人（未遂）等刑事责任，并且你需要及时采取法律措施来维护自己的权益。下面我将从多个角度为你详细分析。
一、交通肇事逃逸的认定
根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，交通肇事逃逸是指发生交通事故后，交通事故当事人为逃避法律追究，驾驶车辆或者遗弃车辆逃离交通事故现场的行为。在你所描述的情况中，对方欠你钱，在发生冲突后开车将你拖行摔伤并逃跑，这一行为明显符合交通肇事逃逸的构成要件。对方在明知发生事故（即你被拖行摔伤）的情况下，仍然选择逃离现场，以逃避可能的法律责任，因此，可以初步判断对方的行为构成交通肇事逃逸。
二、可能涉及的刑事责任
故意伤害罪：如果对方在拖行你的过程中，明知自己的行为会造成你身体伤害，却仍然放任这种结果的发生，那么对方的行为可能构成故意伤害罪。故意伤害罪是指故意非法损害他人身体健康的行为，根据伤害程度的不同，可能面临不同的刑事处罚。
故意杀人罪（未遂）：在极端情况下，如果对方拖行你的行为具有致你死亡的故意，但由于某种原因（如你及时挣脱、他人救助等）未能得逞，那么对方的行为可能构成故意杀人罪（未遂）。故意杀人罪是指故意非法剥夺他人生命的行为，未遂犯同样会受到法律的严惩。
三、你需要采取的法律措施
立即报警：首先，你应该立即向公安机关报案，详细陈述事情的经过和对方的特征，以便公安机关能够迅速展开调查，追捕逃逸者。
保留证据：在报警的同时，你应该尽可能保留与事件相关的证据，如现场照片、视频、目击者证言等。这些证据将有助于公安机关查明事实真相，为你追究对方的法律责任提供有力支持。
寻求法律援助：鉴于事件的复杂性，我建议你寻求专业的法律援助。我可以帮助你分析案情，制定合适的法律策略，并代表你与对方进行协商或提起诉讼，以维护你的合法权益。
关注身体状况：在处理法律事务的同时，你也应该关注自己的身体状况。如果受伤严重，应及时就医并保留好医疗记录，这些记录将作为你后续索赔的重要依据。
四、后续可能的法律程序
刑事立案：公安机关在接到报案后，会进行初步调查。如果认为有犯罪事实发生，需要追究刑事责任，就会立案侦查。
刑事诉讼：在刑事立案后，公安机关会展开侦查工作，收集证据，查明事实真相。如果证据充分，检察机关会提起公诉，法院会进行审理并作出判决。
民事赔偿：除了刑事责任外，你还可以向对方提起民事诉讼，要求对方赔偿你的医疗费、误工费、护理费等经济损失。在民事诉讼中，你需要提供充分的证据来证明你的损失和对方的过错。
最后，我建议你尽快采取行动，保护自己的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。