结论概述：针对新闻背景中广州某小区老人常年饲养投喂流浪猫导致小区臭气熏天、跳蚤肆虐，且社区劝说无效的情况，社区及相关部门可依法采取组织协调、宣传教育、推动社会团体协助管理以及加强环境卫生处理等措施来依法处理。以下从多个维度进行详细分析：
一、法律定性及依据
动物防疫与公共卫生管理：
- 根据2021年新修订的《中华人民共和国动物防疫法》第三十条第三款，街道办事处、乡级人民政府有责任组织协调居民委员会、村民委员会，做好本辖区流浪犬、猫的控制和处置，以防止疫病传播。在此案例中，社区及相关部门应依法履行职责，对流浪猫进行合理控制和管理，以维护公共卫生安全。
相邻权保护：
- 居民在享受自己居住环境的同时，也有义务不损害其他居民的合法权益。老人常年饲养投喂流浪猫，导致小区臭气熏天、跳蚤肆虐，显然侵犯了其他居民的相邻权，包括通风、采光、卫生等权益。其他居民有权要求老人停止侵害、排除妨碍。
二、社区及相关部门可采取的措施
组织协调与沟通：
- 社区应继续与老人进行沟通协调，解释其行为对小区环境和居民生活的影响，争取老人的理解和配合。可以邀请相关部门或专业人士参与沟通，提供更具说服力的建议和解决方案。
宣传教育引导：
- 社区可以加强法律法规宣传，通过“漫画说法”和“案例普法”等方式，向居民普及动物防疫、公共卫生以及相邻权保护等相关知识。同时，也可以加强动物狂犬病防控知识宣传，提高居民对动物疫病的认识和防范意识。
推动社会团体协助管理：
- 社区可以积极推动社会团体投入到流浪猫的管理工作中。例如，可以联系小动物诊疗行业协会等组织，为流浪猫开展义诊、接种狂犬病疫苗以及节育手术等活动，以减少流浪猫的数量和疫病传播的风险。
加强环境卫生处理：
- 城市管理部门应加强对小区环境卫生的清扫保洁和垃圾收运工作，特别是要加强对宠物等观赏动物粪便的清扫清理工作。对于发现公共区域内存在的宠物尸体，应及时向相关部门进行报告，协助做好收集处理工作。
三、可能的法律后果及建议
如果老人继续坚持其行为：
- 如果老人继续坚持饲养投喂流浪猫，且其行为对小区环境和居民生活造成严重影响，其他居民可以向相关部门投诉或举报。相关部门在调查核实后，可以依法对老人进行警告、罚款等行政处罚，并责令其停止侵害、排除妨碍。
建议采取的解决方式：
- 在处理此类纠纷时，建议社区、物业、相关部门以及居民代表等多方共同参与协商，寻求一个既符合法律法规又兼顾各方利益的解决方案。例如，可以设立专门的流浪猫投喂区域，并配备相应的清洁设施和管理人员；或者联系动物保护组织对流浪猫进行收容和领养等。
四、对公众的启示
增强法律意识：
- 居民在享受自己权益的同时，也应增强法律意识，尊重他人的合法权益。在饲养宠物或投喂流浪动物时，应遵守相关法律法规和社区规定，避免对他人造成不必要的困扰和损害。
积极参与社区治理：
- 社区治理需要居民的积极参与和支持。居民应关注社区环境卫生和公共安全等问题，及时向社区或相关部门反映问题和提出建议。同时，也应积极参与社区组织的各项活动和服务工作，共同营造一个和谐、宜居的社区环境。
综上所述，针对新闻背景中的情况，社区及相关部门应依法履行职责，采取多种措施来依法处理流浪猫问题，并维护小区环境和居民生活的和谐稳定。