行政事业单位开办企业主要由以下几个部门进行监管：
市场监督管理部门：
- 行政事业单位开办企业，首先需要在市场监督管理部门进行注册登记，取得营业执照。市场监督管理部门负责企业的市场准入、经营行为监管以及市场秩序维护等工作。因此，对于行政事业单位开办的企业，市场监督管理部门会对其注册信息、经营范围、经营行为等进行监管，确保其合法合规经营。
财政部门：
- 行政事业单位作为公共资源的管理者和使用者，其开办企业的行为也受到财政部门的监管。财政部门会关注行政事业单位开办企业的资金来源、使用情况以及财务状况等，确保企业运营符合财政法规和政策要求，防止国有资产流失。
国有资产监督管理部门（如适用）：
- 如果行政事业单位开办的企业涉及国有资产，那么国有资产监督管理部门也会对其监管。这些部门会确保国有资产的保值增值，防止国有资产被滥用或流失，同时也会对企业的经营决策、重大投资等事项进行监督。
行业主管部门：
- 根据行政事业单位开办企业的具体行业，相关的行业主管部门也会对其监管。例如，如果企业从事教育、医疗等行业，那么教育部门、卫生部门等就会对其监管，确保企业符合行业规范和标准，保障公众利益。
监管的具体内容：
- 合规性监管：各部门会检查企业是否遵守相关法律法规和政策要求，如市场准入条件、经营范围限制、税收政策等。
- 财务监管：财政部门和国有资产监督管理部门会关注企业的财务状况，包括资金来源、使用情况、财务报表等，确保企业财务透明、合规。
- 经营行为监管：市场监督管理部门和行业主管部门会监管企业的经营行为，如是否存在不正当竞争、虚假宣传、违法经营等行为。
如果行政事业单位开办的企业存在违规行为：
- 相关部门会依法对其进行处罚，包括警告、罚款、没收违法所得、吊销营业执照等。
- 对于涉及国有资产流失或严重违法违规的行为，还可能追究相关责任人的法律责任。
建议：
- 行政事业单位在开办企业前，应充分了解相关法律法规和政策要求，确保企业合法合规运营。
- 在企业运营过程中，应加强与各监管部门的沟通联系，及时了解监管动态和要求，确保企业始终符合监管标准。
如有任何关于行政事业单位开办企业监管的疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。