结论：在此情况下，车主是否有责任需分情况讨论，主要取决于狗主人是否存在过错以及车主的驾驶行为是否符合规范。

分析如下：

1. 若狗主人存在过错：

   • 法律背景：根据一般侵权责任原则，如果狗主人未对狗进行合理的看管，导致狗趴在道路上，从而引发了交通事故，那么狗主人应当承担相应的责任。这是因为狗主人有义务确保其宠物不会对他人造成危害。
   • 具体情形：例如，狗主人未拴狗绳，或者未在合适的时间、地点遛狗，导致狗自行跑到道路上。在这种情况下，如果车主是正常驾驶，且已经采取了合理的避让措施，但仍然不幸压到了狗，那么车主通常不需要承担责任。

2. 若车主存在过错：

   • 法律背景：如果车主在驾驶过程中存在疏忽或违规行为，如超速、未注意观察路况等，即使狗是趴在道路上的，车主也可能需要承担一定的责任。这是因为驾驶员有义务在驾驶过程中保持高度警惕，确保行车安全。
   • 具体情形：例如，车主在驾驶时未注意观察前方路况，或者驾驶速度过快，导致无法及时避让趴在道路上的狗。在这种情况下，车主可能需要承担部分或全部责任，具体取决于其过错的严重程度以及狗主人的过错情况。

3. 若双方均无过错：

   • 法律背景：在极少数情况下，如果双方均无过错，如狗突然窜出到道路上，车主无法及时避让，且狗主人也无法预见并防止此类情况的发生，那么可能需要根据公平原则来分担损失。但这种情况较为罕见，且具体责任划分需由法院根据实际情况进行裁决。
   • 建议：在这种情况下，建议双方协商解决，或者通过法律途径寻求公正裁决。

法律建议：

• 对于车主而言，在驾驶过程中应始终保持高度警惕，注意观察前方路况，确保行车安全。如果遇到类似情况，应立即停车并报警，等待交警到来处理。
• 对于狗主人而言，应加强对宠物的看管，确保宠物不会对他人造成危害。在遛狗时，应使用狗绳等工具，并在合适的时间、地点进行。

可能后果：

• 如果车主被认定有责任，可能需要承担狗的医疗费用、狗主人的精神损失费等赔偿责任。
• 如果狗主人被认定有责任，可能需要承担车主的车辆维修费用等赔偿责任。

如有更多细节或疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。