在处理金融借款合同纠纷案件中，当经营借款合同约定了仲裁条款，而抵押合同却约定了诉讼方式时，这确实是一个相对复杂的情况。以下是我为您提供的详细分析和处理建议：
一、核心原则：合同相对性与争议解决方式的独立性
首先，需要明确的是，经营借款合同和抵押合同虽然相关联，但它们是两个独立的合同。每个合同中的争议解决方式（仲裁或诉讼）是该合同双方约定的特定权利，具有相对独立性。因此，一个合同中约定的仲裁条款，并不自动适用于另一个合同。
二、具体处理方式
经营借款合同纠纷：
- 由于经营借款合同中明确约定了仲裁条款，根据《仲裁法》的相关规定，双方应将该合同项下的争议提交给约定的仲裁机构进行仲裁。
- 仲裁过程具有专业性、保密性和快捷性，且裁决具有终局性。一旦仲裁裁决作出，双方应履行裁决，否则另一方可向法院申请强制执行。
抵押合同纠纷：
- 抵押合同中约定了诉讼方式，因此，如果抵押合同项下发生争议，双方应通过诉讼途径解决。
- 在诉讼过程中，法院将根据双方提供的证据和法律规定，对争议进行审理并作出判决。对判决不服的一方，可以在法定期限内提起上诉。
三、特殊情况下的协调与处理
- 关联争议的处理：如果经营借款合同和抵押合同项下的争议存在紧密关联，且一方希望在一个程序中解决所有争议，可以考虑与对方协商，看是否能够达成一致，将争议提交给同一仲裁机构或法院进行合并处理。但这种协商需要双方自愿，且不能违反各自合同中的争议解决条款。
- 执行阶段的协调：如果仲裁裁决和法院判决分别涉及经营借款合同和抵押合同，且都需要执行，那么在执行阶段，法院或执行机构可能会根据实际情况进行协调，以确保执行的效率和公正性。
四、综合建议
- 明确合同条款：在签订合同时，应明确约定争议解决方式，并确保各合同之间的争议解决方式相互协调，避免出现类似本案的冲突。
- 及时咨询专业律师：在处理此类纠纷时，建议及时咨询专业律师，以了解具体法律适用和程序要求，确保自身权益得到充分保护。
- 准备充分证据：无论选择仲裁还是诉讼途径，都应准备充分的证据材料，以支持自己的主张并维护合法权益。
综上所述，当经营借款合同约定仲裁而抵押合同约定诉讼时，双方应分别按照各自合同中的约定处理争议。在特殊情况下，可以通过协商或执行阶段的协调来寻求更高效的解决方案。