结论：一家污水处理厂私自堵管网的行为通常是不合法的，可能涉及多种法律责任。以下从不同角度进行详细分析：
一、法律责任角度
民事责任：
- 侵权责任：如果私自堵管网导致另一家污水处理厂无法正常运营，或者造成其他经济损失，那么堵管网的行为可能构成侵权。根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，侵权人需要承担停止侵害、排除妨碍、赔偿损失等民事责任。
- 合同责任：如果两家污水处理厂之间存在关于管网使用或维护的合同，那么私自堵管网的行为可能构成违约。根据合同法的相关规定，违约方需要承担违约责任，包括继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等。
行政责任：
- 违反城市管理规定：污水处理厂的管网通常属于城市基础设施的一部分，私自堵塞可能违反城市管理或水务管理的相关规定。根据相关法律法规，行政机关可以对违法行为人进行行政处罚，如罚款、责令改正等。
- 违反环境保护法规：如果堵塞管网导致污水无法正常处理，进而对环境造成污染，那么该行为还可能违反环境保护法规。根据《中华人民共和国环境保护法》等相关法律，违法行为人可能需要承担行政责任，包括罚款、责令停产整治等。
刑事责任：
- 在极端情况下：如果私自堵管网的行为导致严重后果，如重大环境污染事故、人员伤亡等，那么该行为可能构成犯罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，犯罪行为人需要承担刑事责任，包括有期徒刑、罚金等。
二、实际操作与后果角度
实际操作中的合法性：
- 污水处理厂在运营过程中，需要遵守相关法律法规和行业规范。私自堵管网通常不是合法的运营手段，除非在紧急情况下为了防止更大损害而采取的临时措施，并且需要及时向相关部门报告。
可能引发的后果：
- 除了上述法律责任外，私自堵管网还可能引发一系列不良后果，如影响两家污水处理厂之间的合作关系、损害企业形象、引发公众不满等。这些后果虽然不直接涉及法律责任，但对企业运营和社会关系产生负面影响。
三、建议与措施
立即停止违法行为：
- 如果已经发生了私自堵管网的行为，建议立即停止该行为，并采取措施恢复管网的正常使用。
与相关部门沟通：
- 及时向城市管理、水务管理或环境保护等相关部门报告情况，说明原因并寻求指导。
协商解决纠纷：
- 如果堵塞管网的行为已经对另一家污水处理厂造成了损失，建议双方通过协商解决纠纷，避免矛盾升级。
寻求法律帮助：
- 如果无法协商解决纠纷，或者认为自己的合法权益受到了侵害，可以寻求法律帮助，通过法律途径维护自己的权益。
总结：一家污水处理厂私自堵管网的行为通常是不合法的，可能涉及民事责任、行政责任甚至刑事责任。建议立即停止违法行为，与相关部门沟通并协商解决纠纷。如有需要，可以向我咨询具体的法律问题。