老人私拴绳子割断气管的行为，是否构成犯罪，需根据具体情节和法律规定进行综合判断，但通常情况下，若该行为具有故意性且造成了严重后果，则可能构成犯罪。以下从不同角度进行分析：
一、故意伤害罪的角度
构成要件：
- 主观方面：行为人需具有故意伤害他人的主观意图。若老人私拴绳子割断气管是出于故意伤害的目的，如报复、泄愤等，则满足主观方面的要件。
- 客观方面：行为人需实施了伤害行为，且该行为造成了他人身体伤害的后果。割断气管显然是一种严重的伤害行为，若导致他人轻伤、重伤甚至死亡，则满足客观方面的要件。
法律后果：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条的规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
二、过失致人重伤或死亡罪的角度
构成要件：
- 主观方面：行为人需因疏忽大意或过于自信的过失而导致他人重伤或死亡。若老人私拴绳子割断气管并非出于故意，而是由于疏忽大意或过于自信（如认为绳子不会割断气管，或未预见到割断气管的严重后果），则可能构成过失犯罪。
- 客观方面：同样需要实施了导致他人重伤或死亡的行为。割断气管若导致他人重伤或死亡，且行为人存在过失，则满足客观方面的要件。
法律后果：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百三十五条的规定，过失伤害他人致人重伤的，处三年以下有期徒刑或者拘役。本法另有规定的，依照规定。若导致他人死亡，则可能构成过失致人死亡罪，处三年以上七年以下有期徒刑；情节较轻的，处三年以下有期徒刑。
三、特殊情况考虑
年龄因素：
- 若老人已达到法定刑事责任年龄（通常为75周岁以上），且因年龄原因导致辨认或控制能力减弱，可能在量刑时予以从轻或减轻处罚。但这并不影响犯罪的成立，只是影响刑罚的轻重。
行为背景与动机：
- 行为的具体背景和动机也是判断是否构成犯罪的重要因素。例如，若老人是在自卫或紧急避险的情况下割断气管（尽管这种情况极为罕见且难以成立），则可能不构成犯罪。但通常情况下，私拴绳子割断气管的行为很难被解释为自卫或紧急避险。
四、建议与后续行动
立即报警：
- 若发生此类事件，应立即报警并保护现场，以便警方进行调查和取证。
配合调查：
- 相关人员应积极配合警方的调查工作，如实陈述事实经过，提供必要的证据和信息。
寻求法律帮助：
- 若涉及刑事责任问题，建议及时咨询专业律师（即我本人，孙树律师，专注于刑事辩护、取保候审领域），以便了解具体的法律后果和应对策略。
综上所述，老人私拴绳子割断气管的行为是否构成犯罪，需根据具体情节和法律规定进行综合判断。若该行为具有故意性且造成了严重后果，则可能构成故意伤害罪；若因疏忽大意或过于自信的过失而导致他人重伤或死亡，则可能构成过失致人重伤或死亡罪。在任何情况下，都应立即报警并配合调查工作，同时寻求专业的法律帮助。