针对街道民政在发放高龄补贴过程中出现的延迟及工作失误问题，其处分方式需依据具体情况、责任大小以及相关法律法规和单位内部规定来综合确定。以下是一些可能的处分方式及考虑因素，供您参考：
一、处分方式
政务警告处分：
- 对于直接负责高龄补贴发放的工作人员，如果因其疏忽或故意拖延导致补贴发放延迟或错误，且情节较轻的，可以给予政务警告处分。这种处分旨在警示工作人员，促使其改正错误，避免类似问题再次发生。
提醒谈话或诫勉谈话：
- 对于责任相对较轻，但存在管理疏漏或审核不严的社区或街道负责人，可以进行提醒谈话或诫勉谈话。通过谈话，指出其存在的问题，要求其加强管理，严格审核，确保高龄补贴的准确发放。
党内警告处分：
- 如果工作人员的行为违反了党的纪律，如工作作风不实、责任意识淡薄等，且情节较为严重的，可以给予党内警告处分。这种处分体现了对党员的严格要求，旨在维护党的纪律和形象。
更严重的纪律处分或法律责任：
- 在极端情况下，如果工作人员的行为构成违法或严重违纪，如贪污、挪用高龄补贴资金等，将依法追究其法律责任，并可能给予更严重的纪律处分，如开除公职、撤销党内职务等。
二、考虑因素
责任大小：
- 在确定处分方式时，应首先考虑工作人员的责任大小。直接负责发放的工作人员责任相对较大，而社区或街道负责人的责任则可能相对较小，但管理疏漏或审核不严同样需要承担相应责任。
情节轻重：
- 情节轻重也是确定处分方式的重要因素。如果补贴发放延迟或错误是由于工作人员的疏忽或无意之失造成的，且情节较轻，可以给予较轻的处分；如果情节严重，如故意拖延、贪污等，则应给予更严重的处分。
社会影响：
- 高龄补贴是党和国家对老年人的关爱政策，其发放情况直接关系到老年人的切身利益和社会稳定。因此，在确定处分方式时，还应考虑社会影响，确保处分既公正又合理，能够维护社会公平正义和老年人权益。
三、后续措施
立行立改：
- 针对发现的问题，街道民政应立即采取措施进行整改，确保高龄补贴的准确、及时发放。
建立健全工作机制：
- 加强内部管理，建立健全高龄补贴发放的工作机制，明确责任分工，加强审核把关，防止类似问题再次发生。
加强宣传教育：
- 加强对工作人员的宣传教育，提高其责任意识和业务水平，确保高龄补贴政策的准确执行。
接受社会监督：
- 主动接受社会监督，及时公开高龄补贴的发放情况，增强透明度，提高公信力。
综上所述，对于街道民政在发放高龄补贴过程中出现的延迟及工作失误问题，应根据具体情况、责任大小以及相关法律法规和单位内部规定来综合确定处分方式，并采取后续措施确保问题的整改和预防。