结论：司机是否构成逃逸，不能仅凭“小狗突然串出撞死，司机没注意”这一简单描述来判定，需要结合具体事实和法律规定进行综合分析。

分析角度一：逃逸的法律定义

根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，交通肇事逃逸是指发生交通事故后，交通事故当事人为逃避法律追究，驾驶车辆或者遗弃车辆逃离交通事故现场的行为。逃逸的关键在于行为人主观上是否有逃避法律追究的故意，以及客观上是否实施了逃离现场的行为。

分析角度二：司机的主观意图

1. 若司机确实未注意到小狗：如果司机在行驶过程中，由于各种原因（如视线受阻、注意力不集中等）确实未注意到小狗，且在小狗被撞死后继续行驶，没有意识到发生了交通事故，那么其主观上并不具有逃避法律追究的故意，因此不构成逃逸。但这种情况下，司机可能因未尽到合理的注意义务而承担一定的民事责任。

2. 若司机注意到小狗但选择逃离：如果司机在行驶过程中注意到了小狗，且意识到可能发生了交通事故，但出于逃避法律追究的目的而选择逃离现场，那么其主观上具有逃避法律追究的故意，客观上也实施了逃离现场的行为，因此构成逃逸。这种情况下，司机将面临更严重的法律后果，包括行政处罚和可能的刑事责任。

分析角度三：客观事实的认定

在判断司机是否构成逃逸时，还需要考虑客观事实的认定。例如，是否有目击者证明司机确实未注意到小狗；是否有监控录像记录事故发生的过程；司机在事故发生后是否有主动报警或寻求帮助的行为等。这些客观事实将有助于判断司机的主观意图和是否构成逃逸。

建议：

1. 对于司机：在行驶过程中应保持高度警惕，注意观察路况和周围环境，避免发生交通事故。如果发生交通事故，应立即停车并报警，保护现场并等待交警处理。如果确实未注意到事故发生，也应在发现后尽快报警并说明情况。

2. 对于小狗主人：如果小狗被撞死，且怀疑司机可能构成逃逸，应立即报警并保留相关证据（如目击者证言、监控录像等）。同时，可以与司机协商赔偿事宜或通过法律途径解决纠纷。

3. 对于双方：在处理此类纠纷时，应保持冷静和理性，避免情绪化行为。通过合法途径解决纠纷是维护自身权益的最佳方式。