结论：针对您提出的问题，母亲和儿子放弃继承权，同时母亲将其一半份额赠与女儿，这一行为既涉及继承权的放弃，也涉及赠与行为，但通常应通过继承公证书来体现放弃继承权的部分，而赠与行为可以通过在继承公证书中一并记载或者单独制作赠与协议并公证的方式来实现。不过，具体操作还需根据实际情况和当地公证处的规定来确定。
详细分析：
放弃继承权：
- 放弃继承权是继承人明确表示不接受被继承人遗产的行为。
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承人放弃继承的，应当在遗产处理前，以书面形式作出放弃继承的表示；没有表示的，视为接受继承。
- 放弃继承权通常需要通过公证来确认其法律效力，即制作继承公证书，其中明确记载继承人放弃继承权的声明。
赠与行为：
- 赠与是赠与人将自己的财产无偿给予受赠人，受赠人表示接受的一种行为。
- 在您描述的情况下，母亲将其在遗产中的一半份额赠与女儿，这构成了一个赠与行为。
- 赠与行为可以通过签订赠与协议并公证的方式来确认其法律效力。赠与协议中应明确赠与的财产、赠与的条件、赠与的时间等关键信息。
公证书的选择与制作：
- 针对您提出的情况，由于既涉及放弃继承权又涉及赠与行为，理论上可以制作两份独立的公证书：一份是继承公证书，用于确认母亲和儿子放弃继承权；另一份是赠与公证书，用于确认母亲将其一半份额赠与女儿。
- 然而，在实际操作中，为了简化流程和提高效率，公证处可能会建议将放弃继承权和赠与行为在一份公证书中一并记载。这样做的好处是减少了公证书的数量，便于管理和查阅。
- 具体选择哪种方式，应根据当地公证处的规定和实际情况来确定。有些公证处可能更倾向于制作两份独立的公证书，以确保每个法律行为的独立性和清晰性；而有些公证处则可能更倾向于制作一份综合性的公证书，以简化流程。
建议：
- 在处理此类问题时，建议您先与当地公证处进行沟通，了解他们的具体规定和操作流程。
- 根据公证处的建议，准备相应的材料和文件，如放弃继承权的声明书、赠与协议等。
- 在制作公证书时，确保所有关键信息都得到准确、清晰的记载，以避免未来可能出现的纠纷。
如果您在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。