在民事案件中，当检察院进行监督支持后，法院对案件的处理会遵循一系列严谨的法律程序。以下是对这一过程的详细解释：
一、检察院的受理与审查阶段
申请审查：
- 检察院在收到当事人的民事检察监督申请后，会首先对申请进行初步审查，确保案件信息的完整性和准确性。
- 检察院有权要求当事人提供补充材料或对相关问题进行说明，当事人应当积极配合。
全面调查核实：
- 检察院会调阅与案件相关的全部卷宗材料，包括起诉状、答辩状、证据材料、庭审笔录、裁判文书等，以全面了解案件事实。
- 如现有证据不足，检察院可依职权进行调查取证，甚至委托鉴定机构进行鉴定。
- 检察院还会通知当事人到场，听取其对案件的陈述和意见，并接受当事人提交的新证据材料。
二、检察院作出监督决定
提出抗诉：
- 若检察院经审查认为原民事判决、裁定存在应当抗诉的情形，如主要证据不足、适用法律错误、违反法定程序等，将向同级法院的上一级法院提出抗诉。
- 法院在收到抗诉书后，应在三十日内作出再审的裁定，启动再审程序。
提出检察建议：
- 对于不符合抗诉条件但原审裁判存在问题或审判过程存在不规范行为的案件，检察院可向同级法院提出检察建议。
- 法院应对检察建议进行审查，并书面回复处理结果，这可能包括对原审裁判的修正或对审判过程的改进。
终结审查：
- 若检察院认为原民事判决、裁定认定事实清楚、适用法律正确、程序合法，或当事人的监督申请缺乏事实和法律依据，将作出终结审查的决定，并书面通知当事人。
三、法院的再审及后续执行阶段
再审程序：
- 一旦检察院提出抗诉且法院启动再审程序，当事人需按法院要求参加再审庭审，充分陈述事实和理由，出示相关证据，进行质证和辩论。
- 法院将根据再审情况作出新的裁判，这可能是维持原判、改判或撤销原判发回重审。
执行阶段：
- 若再审后作出新的生效裁判，当事人应履行相应义务。如一方不履行，另一方可向法院申请强制执行。
- 检察院在执行阶段也可对执行活动进行监督，确保执行程序的合法性和公正性，保护当事人的合法权益。
四、当事人的权利与义务
- 积极配合：当事人在整个民事检察监督过程中应积极配合检察院和法院的工作，包括提供补充材料、说明相关问题、参与听证或询问等。
- 保持沟通：当事人应与检察院和法院保持密切沟通联系，及时了解案件进展情况，并尊重检察院的监督决定和法院的裁判结果。
- 异议申诉：如对检察院的决定或法院的裁判有异议，当事人可按照法律规定的方式提出申诉或复议请求，维护自己的合法权益。
综上所述，民事案件在检察院监督支持后，法院会依据法律程序进行再审或执行，确保案件的公正处理。当事人在整个过程中应积极配合，保持沟通，并在必要时提出异议申诉。