行政履职申请延期原则上必须通知本人，但存在例外情形。以下从不同角度为你详细分析：
从程序正当性原则角度
- 程序正当是行政法的基本原则之一，它要求行政机关在实施行政管理活动时，必须遵循法定的程序，保障相对人的知情权、参与权等合法权益。在行政履职申请延期这一事项上，通知本人是保障其知情权的重要体现。行政机关作出延期决定，意味着相对人原本期待的行政行为作出时间被推迟，这直接影响到相对人的权益。如果不通知本人，相对人就无法及时了解行政程序的进展情况，无法对行政机关的延期行为进行监督，也不利于其合理安排自己的事务。例如，在行政许可申请延期的情况下，申请人可能已经根据原定的许可作出时间安排了生产经营活动，如果行政机关不通知延期，申请人可能会因不知情而遭受不必要的损失。
- 法律依据：《中华人民共和国行政许可法》第三十八条规定，行政机关依法作出不予行政许可的书面决定的，应当说明理由，并告知申请人享有依法申请行政复议或者提起行政诉讼的权利。虽然该条款直接针对的是不予行政许可的决定，但体现了行政机关在作出影响相对人权益的决定时，有告知的义务。同理，行政履职申请延期也应遵循这一精神，通知本人。
从具体行政行为类型角度
- 行政许可：根据《中华人民共和国行政许可法》第四十二条，除可以当场作出行政许可决定的外，行政机关应当自受理行政许可申请之日起二十日内作出行政许可决定。二十日内不能作出决定的，经本行政机关负责人批准，可以延长十日，并应当将延长期限的理由告知申请人。这明确规定了行政机关在行政许可延期时，有告知申请人的义务。
- 行政处罚：在行政处罚程序中，如果存在需要延期作出处罚决定的情况，虽然没有像行政许可那样明确规定必须通知当事人，但从保障当事人合法权益和程序正当的角度出发，行政机关也应当通知当事人。例如，在调查取证过程中，由于情况复杂需要延长调查时间，行政机关应当告知当事人延期的理由和大致的时间，让当事人了解行政程序的进展。
- 其他行政行为：对于其他类型的行政履职行为，如行政给付、行政确认等，虽然没有明确的法律规定延期必须通知本人，但基于程序正当和保障相对人权益的考虑，行政机关也应当尽量通知本人。如果行政机关不通知，相对人可以通过合法途径，如申请行政复议或提起行政诉讼，来维护自己的合法权益。
例外情形
- 紧急情况：在某些紧急情况下，行政机关可能无法及时通知本人。例如，在突发公共卫生事件中，行政机关需要立即采取措施进行防控，可能来不及通知相对人关于某些行政履职申请的延期情况。但这种情况下，行政机关应当在紧急情况消除后，及时向相对人说明情况。
- 相对人无法联系：如果行政机关通过合理的方式尝试通知本人，但由于相对人自身的原因，如联系方式变更且未及时告知行政机关、下落不明等，导致无法通知的，行政机关可以记录通知的过程和情况，视为已经履行了通知义务。不过，行政机关仍应采取其他合理的措施，如公告等方式，尽量保障相对人的知情权。