结论：私人单位在母乳期（通常指哺乳期）不给员工相应待遇或违法解除劳动合同等情况下，员工是可以申请劳动仲裁的。
详细分析：
哺乳期员工的权益：
- 根据《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，女职工在哺乳期内享有特殊的劳动保护权益。这包括但不限于：不得安排其从事国家规定的第三级体力劳动强度的劳动和哺乳期禁忌从事的其他劳动，不得安排其延长工作时间和夜班劳动，以及在哺乳期内一般不得解除劳动合同等。
- 如果私人单位违反这些规定，如违法解除劳动合同、不支付哺乳期待遇等，员工有权依法维护自己的权益。
劳动仲裁的适用性：
- 劳动仲裁是解决劳动争议的一种重要方式。当员工与用人单位之间发生劳动争议，如工资支付、福利待遇、劳动合同解除等，且双方无法通过协商达成一致时，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 在您提到的情况下，如果私人单位在母乳期不给员工相应待遇或违法解除劳动合同，员工完全有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
申请劳动仲裁的流程：
- 准备材料：员工需要准备相关的证据材料，如劳动合同、工资单、解除劳动合同通知书（如有）、哺乳期的相关证明等。
- 提交申请：员工需要向所在地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书，并附上相关证据材料。
- 仲裁审理：劳动争议仲裁委员会在收到申请后，会进行审查并决定是否受理。如果受理，会安排仲裁庭进行审理，并作出裁决。
- 执行裁决：如果用人单位不履行仲裁裁决，员工还可以向人民法院申请强制执行。
可能的法律后果：
- 如果私人单位被认定存在违法行为，如违法解除劳动合同、不支付哺乳期待遇等，劳动争议仲裁委员会可能会裁决用人单位支付相应的经济补偿、赔偿金或恢复劳动关系等。
- 同时，用人单位还可能面临劳动行政部门的处罚，如罚款、警告等。
建议：
- 如果您或您身边的人遇到类似情况，建议首先与用人单位进行协商，尝试通过友好方式解决问题。
- 如果协商无果，可以及时向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
- 在申请仲裁前，建议咨询专业律师（如我，曹兴龙律师，专注于劳动纠纷等领域），以获取更具体的法律建议和指导。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。