结论：捕杀一只通常所称的“三级保护动物”（实际应为“三有保护动物”）是否会判刑，需根据具体情节判断。一般情况下，单纯捕杀一只可能不构成刑事犯罪，但会面临行政处罚；若情节严重，如达到非法狩猎罪的立案标准，则可能被判刑。

详细分析：

1. 行政责任：

   • 根据《中华人民共和国野生动物保护法》及相关实施条例，捕杀“三有保护动物”（即国家保护的有益的或者有重要经济、科学研究价值的陆生野生动物）属于违法行为。
   • 对于此类违法行为，县级以上地方人民政府野生动物保护主管部门或相关管理机构将依法没收猎获物、猎捕工具和违法所得，吊销狩猎证，并处以猎获物价值一倍以上五倍以下的罚款；若无猎获物，则处以二千元以上一万元以下的罚款。

2. 刑事责任可能性：

   • 捕杀“三有保护动物”在一般情况下不构成刑事犯罪，但若达到一定的严重程度，如非法狩猎野生动物二十只以上，或在禁猎区内使用禁用的工具或方法狩猎，或在禁猎期内使用禁用的工具或方法狩猎，以及其他情节严重的情形，则构成非法狩猎罪。
   • 根据《中华人民共和国刑法》第三百四十一条第二款，违反狩猎法规，在禁猎区、禁猎期或者使用禁用的工具、方法进行狩猎，破坏野生动物资源，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者罚金。

3. 具体情节判断：

   • 捕杀一只“三有保护动物”是否构成刑事犯罪，关键在于是否达到非法狩猎罪的立案标准。若仅捕杀一只，且未使用禁用工具或方法，也未在禁猎区或禁猎期内进行，则通常不构成刑事犯罪。
   • 但若捕杀行为伴随其他严重情节，如多次捕杀、捕杀后出售或用于其他非法目的等，则可能构成刑事犯罪。

法律建议：

• 遵守法律法规：保护野生动物是每个公民的责任和义务。应严格遵守《中华人民共和国野生动物保护法》及相关法律法规，不参与任何非法捕杀野生动物的活动。
• 增强法律意识：了解并遵守关于野生动物保护的相关法律法规，避免因无知而违法。
• 及时咨询：如有关于野生动物保护的法律问题或疑虑，或面临相关法律纠纷，可直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律意见和帮助。

总结：捕杀一只“三有保护动物”是否会判刑，需根据具体情节判断。在一般情况下，可能仅面临行政处罚；但若情节严重，则可能构成非法狩猎罪，面临刑事处罚。因此，建议公众严格遵守相关法律法规，共同维护生态平衡和生物多样性。