结论：房子拍卖后钱款的分配并不固定先给银行，而是取决于债权的性质、先后顺序以及是否存在抵押等优先情形。具体来说，分配顺序遵循优先债权优先清偿，普通债权按比例分配的原则。
一、优先债权优先清偿
税收债权与建设工程价款优先受偿权：
- 根据法律规定，税收债权和建设工程价款优先受偿权在房子拍卖后所得款项的分配中享有优先地位。这意味着，如果存在这些优先债权，它们将先于其他债权（包括银行的债权，如果银行没有抵押权的话）得到清偿。
已登记的抵押权：
- 如果债务人将房产抵押给了某个债权人，并且该抵押权已经过合法登记，那么该抵押权人（可能是银行，也可能是其他债权人）在房子拍卖后享有优先受偿权。但在此案例中，由于银行没有抵押，因此不享有这种优先受偿权。
二、普通债权按比例分配
银行作为普通债权人：
- 在清偿完所有优先债权后，如果房子拍卖后所得款项还有剩余，那么这些剩余款项将按照各普通债权的比例进行分配。由于银行在此案例中没有抵押权，因此它将被视为普通债权人之一，与其他普通债权人共同按比例受偿。
其他普通债权人：
- 除了银行外，如果还有其他普通债权人（如未登记的抵押权人、普通债权人等），他们也将按照各自债权的比例参与剩余款项的分配。
三、具体分配流程与注意事项
确定债权性质与顺序：
- 在房子拍卖前，需要首先确定所有债权的性质（优先债权还是普通债权）以及它们的先后顺序。这通常需要通过法律程序（如诉讼、仲裁等）来确认。
拍卖款项的分配：
- 房子拍卖后，所得款项将首先用于清偿优先债权。在清偿完所有优先债权后，剩余款项将按照各普通债权的比例进行分配。分配过程中需要确保公平、公正，并遵循相关法律法规的规定。
注意事项：
- 在处理此类问题时，建议债务人、债权人以及相关利益方及时咨询专业律师，以确保自己的权益得到妥善保护。同时，也需要注意保留好相关证据和文件，以便在需要时提供证明。
举例说明：假设一套房子拍卖后所得款项为100万元，其中存在税收债权20万元、建设工程价款优先受偿权30万元，以及银行和其他普通债权人的债权共计50万元。那么，在分配过程中，首先会清偿税收债权和建设工程价款优先受偿权共计50万元，剩余50万元则按照银行和其他普通债权人的债权比例进行分配。
建议：如果您在处理房产拍卖或债务债权相关问题时遇到困惑或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律意见和解决方案。