结论：小区楼道出现老鼠，物业通常是有一定义务和责任的，但具体责任范围需结合实际情况判断。以下从不同角度详细分析：
一、物业的基本义务与责任
物业服务合同约定：
- 物业与业主之间签订的物业服务合同中，通常会明确物业的服务范围和标准，包括公共区域的清洁、卫生、害虫防治等。如果合同中明确规定了物业有责任处理楼道内的老鼠问题，那么物业就应当履行这一义务。
法律法规要求：
- 根据《物业管理条例》等相关法律法规，物业有义务对小区的公共区域进行日常管理和维护，确保小区环境整洁、卫生，并采取必要的措施防止害虫滋生。虽然这些法规可能没有直接提及“老鼠”问题，但害虫防治是物业管理的一部分，可以合理推断物业有责任处理包括老鼠在内的害虫问题。
二、物业责任的具体判断
老鼠出现的原因：
- 如果老鼠出现是由于物业管理不善，如楼道清洁不彻底、垃圾处理不及时等导致的，那么物业应当承担主要责任。
- 如果老鼠出现是由于业主自身原因，如家中存放大量食物、未妥善处理垃圾等导致的，并且已经影响到了公共区域，那么物业在采取必要措施的同时，也可以要求业主配合整改。
物业采取的措施：
- 物业在发现楼道内有老鼠后，应当及时采取灭鼠措施，如放置灭鼠药、设置捕鼠器等，并加强楼道的清洁和卫生管理。
- 如果物业已经采取了合理的灭鼠措施，但老鼠问题仍然存在，那么物业可能需要进一步调查原因，并考虑是否需要增加灭鼠力度或采取其他措施。
三、业主的权利与救济途径
与物业协商：
- 业主在发现楼道内有老鼠后，可以首先与物业进行沟通，要求物业采取必要的灭鼠措施。
投诉与举报：
- 如果物业拒绝履行义务或处理不当，业主可以向相关部门进行投诉和举报，如向当地的物业管理主管部门或房地产行政主管部门反映情况。
法律途径：
- 在极端情况下，如果物业的行为严重损害了业主的合法权益，业主还可以考虑通过法律途径来维护自己的权益，如提起民事诉讼要求物业承担相应的赔偿责任。
建议：在实际操作中，业主可以先查看物业服务合同中的相关条款，了解物业的具体义务和责任。如果合同中有明确规定，业主可以依据合同要求物业履行义务。如果合同中没有明确规定或规定不明确，业主可以与物业进行协商，要求物业采取必要的灭鼠措施。如果协商无果，业主可以考虑向相关部门投诉或举报，甚至通过法律途径来维护自己的权益。
后续思考：在处理此类问题时，业主和物业之间应当保持沟通和协作，共同维护小区的整洁和卫生。同时，业主也应当注意自身行为对小区环境的影响，避免因为自身原因导致害虫滋生。如果遇到复杂的法律问题或纠纷，建议直接向我咨询，以便得到更专业、更全面的法律建议。