在诉讼过程中，如果当事人找到了新证据并希望提起诉讼或影响现有诉讼进程，处理方式会依据诉讼阶段和具体情况有所不同。以下是对新证据提起诉讼或影响诉讼的详细处理方式：

一、新证据的基本审查

无论在哪个阶段，新证据都需要经过法院的基本审查，确认其真实性、合法性和关联性。这是证据被采纳的基础，同时，对方当事人也应有机会对新证据发表意见，确保双方的质证权利。

二、一审程序中的新证据处理

1. 在举证期限内提出：

   • 如果新证据是在一审法院指定的举证期限内提交的，法院会组织双方进行质证。
   • 根据质证情况和案件其他证据，法院会评估新证据的证明力，并据此作出判决。

2. 在举证期限届满后提出：

   • 若新证据属于“新的证据”（如新发现或因客观原因无法及时提供的证据），法院会接受并组织质证，根据其证明价值作为认定案件事实的参考。
   • 若不属于“新的证据”，法院一般不予采纳，但对方当事人同意质证的除外。此时，逾期举证方可能需要承担因此产生的合理费用。

三、二审程序中的新证据处理

1. 若新证据属于“新的证据”：

   • 如新发现的证据或一审未获准许的调查取证申请而二审认为应当准许的证据，法院会组织质证。
   • 根据新证据对案件事实认定的影响，法院可能决定改判、发回重审等。

2. 若新证据不属于“新的证据”：

   • 二审法院原则上不予采纳，但若该证据对查明案件基本事实有重要作用且对方当事人无异议，法院也可采纳。
   • 逾期举证方可能面临处罚，如训诫、罚款等。

四、再审程序中的新证据处理

• 当事人申请再审时提供的新证据，若符合《民事诉讼法》规定的情形（即足以推翻原判决、裁定），法院应启动再审程序。
• 法院会对新证据进行重点审查和质证，若新证据确实足以推翻原判决、裁定，法院将依法撤销原生效裁判，重新作出裁判。

五、是否需要重新起诉

• 审判监督程序：如果新证据足以推翻原判决、裁定，当事人可以在知道或应当知道之日起六个月内提出再审申请，而不需要重新起诉。
• 二审或执行阶段：在二审或执行阶段发现新证据，通常是通过提交新证据来影响现有诉讼进程，而不是重新起诉。

六、建议

• 当事人在诉讼过程中应积极收集证据，并在举证期限内及时提交。
• 如果发现新证据，应尽快与法院联系，了解提交新证据的具体程序和要求。
• 在处理新证据时，法院会秉持认真、细致的态度，确保每一份证据都经过充分的质证和审查。当事人也应积极行使自己的权利，支持自己的主张。

综上所述，新证据提起诉讼或影响诉讼的处理方式取决于诉讼阶段和具体情况。当事人应了解相关法律规定和程序要求，积极行使自己的权利，以维护自己的合法权益。