行政处罚决定允许分期缴纳罚款的，行政机关有权在每一期届满后进行催收，而非必须等到全部期数届满（如第三期）后才可催收。具体分析如下：

1. 法律依据与行政权力的行使
   根据《行政处罚法》第六十六条第二款规定，当事人确有经济困难需要延期或分期缴纳罚款的，经当事人申请并经行政机关批准，可以暂缓或分期缴纳。行政机关批准分期缴纳后，即产生对每一期款项的独立催告权。行政机关有权在每一期履行期限届满后，通过书面催告、电话通知等方式要求当事人履行义务，这是行政机关执行罚款决定的合法手段。

2. 分期缴纳的性质与执行逻辑
   分期缴纳的本质是将罚款总额拆分为多个独立债务，每期债务均具有独立的履行期限和违约后果。若行政机关仅能在全部期数届满后催收，将导致以下问题：

   • 行政机关无法及时监督每一期履行情况，可能纵容当事人恶意拖延；
     
   • 行政处罚的威慑力被削弱，不利于维护公共利益；
     
   • 行政机关需承担因当事人分期违约导致的执行风险累积。
     因此，允许行政机关对每一期进行催收，符合行政处罚的效率原则和执行逻辑。

3. 实务操作中的注意事项

   • 催告程序合法性：行政机关催收时需遵循法定程序，如出具书面催告书并载明履行期限、逾期后果等，避免程序违法；
     
   • 当事人权利保障：当事人对催收行为有异议的（如认为已履行或存在经济困难），可依法申请行政复议或提起行政诉讼；
     
   • 强制执行衔接：若当事人经催告后仍不履行，行政机关可依法申请法院强制执行，但需注意强制执行申请的期限（通常为当事人履行期满后三个月内）。

建议：若您作为当事人收到行政机关的分期催收通知，应首先核对催收内容是否与分期缴纳协议一致（如金额、期限等）。如存在争议，可要求行政机关出具相关法律依据或申请听证；若您作为行政机关工作人员，需确保催收程序合法，并留存催告记录作为后续执行的证据。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。