关于随申办签订的租赁合同是否会占用房产下的读书名额，这主要取决于当地的教育政策和具体学校的招生规定，而非直接由租赁合同的签订方式（如随申办签订）决定。以下是从不同角度的详细分析：
教育政策角度：
- 不同地区的教育政策对租房入学有不同的规定。有些地区可能允许租房家庭的孩子入学，但会设定一定的条件，如租房期限、是否唯一住房等。
- 有些热门学校或学区，由于学位紧张，可能会优先录取户籍在本学区的孩子，租房家庭的孩子可能面临更大的入学难度或需要满足更严格的条件。
学校招生规定角度：
- 具体学校的招生规定也是决定租房是否影响入学的重要因素。一些学校可能明确要求入学儿童必须与其父母或法定监护人在同一户籍地址，且该地址为唯一住房。
- 其他学校可能相对宽松，只要租房家庭能提供有效的居住证明（如租赁合同、居住证等）和符合其他入学条件，即可申请入学。
租赁合同本身角度：
- 随申办签订的租赁合同，其法律效力与普通纸质合同相同，关键在于合同内容的真实性和合法性。
- 租赁合同本身并不直接决定房产下的读书名额是否被占用，而是作为租房家庭居住证明的一部分，用于申请入学时提供给学校或教育部门审核。
针对您的情况，我给出以下建议：
- 了解当地教育政策：首先，您需要了解当地的教育政策，特别是关于租房入学的相关规定。这可以通过咨询当地教育部门或学校招生办公室获得。
- 查看学校招生简章：其次，查看您希望孩子入学的学校的招生简章，了解具体的入学条件和要求。这有助于您判断租房是否会影响孩子的入学。
- 准备相关证明材料：如果租房家庭的孩子符合入学条件，您需要准备相关的证明材料，如租赁合同、居住证、孩子的户籍证明等，以便在申请入学时提供给学校或教育部门审核。
最后，需要强调的是，由于教育政策和学校招生规定的不断变化，以及不同地区、不同学校之间的差异，租房是否会影响房产下的读书名额并没有一个统一的答案。因此，在做出决策前，建议您务必咨询当地教育部门或学校招生办公室，以获取最准确、最权威的信息。如果您在准备相关证明材料或申请入学过程中遇到任何法律问题，也可以随时向我咨询。