核心结论： 在家中被盗且有监控抓到嫌疑人的情况下，应立即向公安机关报案，公安机关将依法进行立案侦查。以下是具体步骤和注意事项：

1. 立即报案：发现家中被盗后，无论是否已经通过监控抓到嫌疑人，都应第一时间向当地公安机关报案。报案时，应尽可能详细地描述被盗物品的情况、被盗时间、地点以及通过监控获取的嫌疑人信息。

2. 提供监控证据：将监控录像作为证据提交给公安机关。监控录像应清晰显示嫌疑人的面貌、行为以及盗窃过程，这将有助于公安机关快速锁定嫌疑人并展开调查。在提交监控录像时，应确保录像的完整性和真实性，避免对录像进行任何编辑或篡改。

3. 配合公安机关调查：在公安机关立案后，应积极配合调查工作。这包括提供进一步的线索、协助公安机关进行现场勘查、辨认嫌疑人等。同时，应保护好现场，避免破坏任何可能对案件调查有用的证据。

4. 关注案件进展：在案件侦查过程中，应保持与公安机关的沟通，及时了解案件进展。如果公安机关需要补充证据或进行进一步调查，应积极配合并提供必要的协助。

5. 法律程序与权益保护：

   • 立案审查：公安机关在接到报案后，将进行立案审查，判断是否符合立案条件。如果符合，将正式立案并展开侦查。
   • 刑事诉讼程序：一旦立案，案件将进入刑事诉讼程序。嫌疑人将被依法传唤、讯问，并可能面临逮捕、起诉等法律程序。
   • 权益保护：在整个过程中，应关注自己的合法权益是否得到保护。如果认为公安机关在处理案件过程中存在违法行为或不当行为，可以向相关部门投诉或寻求法律援助。

注意事项：

• 在报案和提供证据时，应确保所有信息的真实性和准确性，避免提供虚假信息或误导公安机关。
• 在配合公安机关调查时，应遵守法律法规和公安机关的要求，不得干扰或阻碍调查工作。
• 如果对案件处理过程或结果有异议，可以通过合法途径表达诉求，如申请复议、提起诉讼等。