结论：自己家的猫抓了保护动物，主人不一定会被判刑，具体是否承担刑事责任需视情况而定。不过，主人可能需要承担民事赔偿责任，在特定情境下还可能面临行政处罚。以下是对此问题的详细分析：
一、刑事责任分析
一般情况：
- 家猫作为宠物，其行为具有一定的不可控性，主人通常难以预先知晓并控制其会抓伤或咬死保护动物。因此，在缺乏主观故意的情况下，主人不符合犯罪的构成要件，一般不会被判刑。
特殊情况：
- 如果主人明知所在区域有保护动物出没，却故意放任家猫外出或不加管束，导致家猫抓伤或咬死保护动物，可能被认定为存在故意或重大过失。
- 特别是当家猫抓伤或咬死的是国家重点保护的珍贵、濒危野生动物时（如国家一级或二级保护动物），主人可能涉嫌非法杀害珍贵、濒危野生动物罪，面临刑事处罚。根据《中华人民共和国刑法》第三百四十一条第一款规定，此类行为可处五年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金；情节严重的，处罚更重。
- 对于“三有”保护动物（即国家保护的有益的或者有重要经济、科学研究价值的陆生野生动物），如果主人的故意或重大过失行为导致家猫抓伤或咬死数量较多，达到情节严重的标准，也可能构成犯罪。
二、民事责任分析
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，如果宠物的行为造成了他人损失，主人需要承担赔偿责任。当家猫抓伤或咬死保护动物时，主人可能需要赔偿保护动物的价值以及因此产生的其他相关费用，如保护动物的救治费用、管理部门的调查费用等。
三、行政责任分析
- 在特定情境下，如主人在禁止饲养宠物的区域（如自然保护区）放养家猫，导致保护动物被抓伤或咬死，可能会面临行政处罚，如罚款、没收宠物等。
建议与措施
- 加强宠物管理：宠物主人应加强对宠物的管理和训练，确保宠物不会对野生动物或其他人和物造成伤害。例如，可以采取拴养、圈养等方式限制宠物的活动范围。
- 了解法律法规：宠物主人应了解并遵守相关法律法规，特别是关于野生动物保护的规定。在不确定是否可以饲养宠物或宠物是否可以外出时，应咨询相关部门或专业人士的意见。
- 及时采取措施：如果宠物不慎抓伤或咬死了保护动物，主人应立即采取措施防止事态扩大，并及时向相关部门报告。同时，应积极配合相关部门的调查和处理工作。
最后，作为宠物主人，我们有责任和义务确保宠物的行为不会对他人或野生动物造成伤害。如果遇到类似情况或有任何法律疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律意见和帮助。