针对您提出的“公租房退房但合同弄掉了怎么办”的问题，以下是我为您整理的详细解答步骤，希望能帮助您顺利解决问题：
一、合同丢失后的初步处理
保持冷静：首先，请不必过于慌张。公租房租赁关系的存在并不完全依赖于纸质合同，因此合同丢失并不意味着您的租赁权益就此丧失。
了解合同份数及持有情况：公租房租赁合同通常一式多份，您、公租房管理部门（如住房保障中心）及相关社区等可能都会留存一份。了解这一点有助于您确定获取备份合同的途径。
二、联系公租房管理部门
准备材料：立即携带有效身份证件（如身份证）前往当地负责管理公租房的部门，如住房保障管理中心或相关街道办事处、乡镇人民政府的住房保障工作机构。
说明情况：向工作人员详细说明您的租赁合同丢失的情况，并请求查阅他们留存的合同档案。
获取复印件：经身份核实无误后，管理部门通常会提供租赁合同的复印件，并在复印件上加盖公章，以确保其具有与原件同等的法律效力。
三、退房流程
在获取合同复印件或确认租赁关系后，您可以按照以下步骤进行退房：
查看合同约定：仔细审查您手中的合同复印件（或管理部门提供的合同信息），了解关于提前退租的规定，包括提前通知期限、违约责任等。
提前通知管理部门：根据合同约定或实际情况，提前告知公租房管理部门您的退房意向。若合同无相应条款，也应基于合理理由与管理部门协商退租事宜。
恢复房屋原貌：在退房前，请搬走个人物品，打扫房间，确保房屋恢复至租赁开始时的大致状态。同时，检查房屋内设施，如有损坏或丢失，及时与管理部门沟通处理。
结清各项费用：核对房租、水电燃气等账单，确保无遗漏或错误收费。根据合同约定，您可能需要承担房屋内设施损坏的赔偿责任。
退还押金：在房屋交接无误后，公租房管理部门应退还您的押金。请妥善保管押金收据，以便核对。
书面确认：最后，与管理部门签订退房交接的书面文件，明确双方责任和义务已履行完毕。
四、额外建议
考虑登报挂失（可选）：虽然公租房租赁合同丢失不会像某些重要证件那样产生重大经济损失的风险，但为谨慎起见，您可以选择在当地公开发行的报纸上刊登租赁合同遗失声明，声明原租赁合同作废。不过，这一步骤并非法定必经程序，您可根据个人需求自行决定。
妥善保管新文件：一旦获得新的租赁合同复印件或退房交接的书面文件，请将其妥善保管，并可考虑采取多种方式进行备份，如拍照、扫描存档于云端或电脑硬盘等。
希望以上解答能够帮助您顺利解决公租房退房但合同丢失的问题。如果您在操作过程中遇到任何困难或疑问，建议及时与管理部门沟通或咨询专业法律意见。