劳务输出和劳务派遣公司之间的雇佣关系，实际上主要聚焦于劳务派遣公司与被派遣劳动者之间的劳动关系。以下是对这一问题的详细解答：
劳务派遣公司与被派遣劳动者的劳动关系：
- 法律定义：根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位（即劳务派遣公司）是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务。这意味着劳务派遣公司与被派遣劳动者之间建立了明确的劳动关系。
- 劳动合同签订：劳务派遣公司必须与被派遣劳动者签订二年以上的固定期限劳动合同，明确工作内容、劳动报酬、派遣期限等关键条款。这一要求确保了劳动关系的稳定性和明确性。
- 劳动报酬支付：无论被派遣劳动者是否被派遣至用工单位工作，劳务派遣公司均需按月支付劳动报酬。在无工作期间，劳务派遣公司应按照所在地人民政府规定的最低工资标准支付报酬，以保障劳动者的基本生活需求。
劳务派遣公司与用工单位的关系：
- 民事合同关系：劳务派遣公司与用工单位之间通过签订劳务派遣协议来明确双方的权利和义务。这份协议通常包括派遣岗位、人员数量、劳动报酬、社保费用以及违约责任等内容。
- 服务费用支付：用工单位根据劳务派遣协议向劳务派遣公司支付服务费用，这是劳务派遣公司运营的主要经济来源。
被派遣劳动者的权益保护：
- 同工同酬原则：被派遣劳动者享有与用工单位同类岗位劳动者相同的劳动报酬分配办法，这是对其劳动权益的重要保障。
- 权益救济机制：当被派遣劳动者的合法权益受到侵害时，劳务派遣公司与用工单位承担连带赔偿责任。这意味着劳动者可以向任一方主张权利，增加了其权益保护的力度。
实际案例与操作建议：
- 案例说明：假设某劳务派遣公司与一家制造企业签订了劳务派遣协议，将一批劳动者派遣至该企业从事生产工作。在这种情况下，劳务派遣公司与被派遣劳动者之间建立了劳动关系，而制造企业则作为用工单位对劳动者进行工作管理。
- 操作建议：对于劳务派遣公司和被派遣劳动者而言，明确双方的劳动关系是维护各自权益的基础。劳务派遣公司应依法履行用人单位的义务，如签订规范的劳动合同、按时支付劳动报酬等；被派遣劳动者也应了解自己的法律地位，积极维护自身权益，如要求同工同酬、享受社会保险等福利待遇。
总结与建议：劳务派遣是一种特殊的用工方式，其中劳务派遣公司与被派遣劳动者之间建立了明确的劳动关系。这种关系的确立不仅有着明确的法律依据，还体现在双方的实际互动和权益保障之中。因此，劳务派遣公司和被派遣劳动者应依法行事，共同维护和谐稳定的劳动关系。如果您在劳务派遣方面遇到任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。